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分离变量法的适用条件
1 引言
数学物理方程主要是指从物理科学研究和工程技术应用中所产生的偏微分方程,它是大学理工科专业的一门非常重要的数理基础课,不管是将来从事基础理论研究,还是进行技术开发都离不开它,与此同时它又公认是大学理工专业一门难教难学的课程,需要大家在教学中花费更多的时间和精力研究教学方法,对各种疑难问题必须清楚地向学生讲解,这样学生才能熟练掌握这门难度大要求高的必修课.在大学数学物理方法课程中,通常介绍波动方程、输运方程（包括热传导方程、物质扩散方程）、稳定场方程（包括拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程）三大类数学物理方程,他们都是属于二阶线性的偏微分方程[1-2].一般来说,偏微分方程的求解相当复杂,关于上述三类方程的解法也具有典型性,完全可以应用到其他类型的数学物理方程求解,例如量子力学的薛定谔方程[3].分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍有效方法,通过假设分离变量形式的特解,把偏微分方程分解为一系列带待定常数的微分方程,对其求解变得相对容易.本文首先简单介绍分离变量法的基本思想和步骤,然后重点讨论分离变量法的各种限制条件,使学生清楚理解分离变量法的优势和短处,最后说明分离变量法的一个推广应用.
2 分离变量法的基本思想和步骤
数学物理方程定解问题一般包含偏微分方程和定解条件.偏微分方程描述某一大类物理现象所满足的普遍规律和共同特征,例如波动方程描写波动过程的运动规律,不管机械波,还是电磁波都服从波动方程.所以说数学物理方程都是描写普遍的现象,不单是针对某个具体现象和过程,只有偏微分方程往往不足以定解.要想对具体问题定解,必须提供具体的边界条件,它反映系统受到周围环境对它的作用和影响,对随时间变化问题还要给出初始条件,它反映系统在初始时刻的物理状态,边界条件和初始条件统称定解条件.边界条件的表现形式多种多样,例如常见的线性边界条件就有三种类型,第一类边界条件给出物理量在边界上的数值,第二类边界条件给出物理量在边界上的法向导数,第三类则是第一第二类边界条件的混合形式.除此之外还有自然边界条件、非线性边界条件等[4].
对于常微分方程的解法,可以先不考虑任何附加条件,直接求出方程的通解,通解中包含一些待定常数,然后利用附加条件确定这些常数,就得到具体问题的定解.偏微分方程能否采用这种思路求解呢？除了极少数特例,这种方法一般不可行.首先偏微分方程的通解很难得到,即使得到了通解,由于通解中含有待定函数,仅仅根据定解条件也很难完全确定这些待定函数.分离变量法是求解数学物理方程定解问题的一种基本解法,虽然其想法源自物理的驻波概念,由此推断方程的解可以写成空间坐标变量函数和时间变量函数的乘积,即存在分离变量形式的特解.这种解法的合理性和有效性其实和驻波没有直接关系,并且可以推广至各种类型的数学物理方程定解问题,其中就包括物理学中最重要的方程之一：量子力学的薛定谔方程.分离变量法的主要步骤包括：首先假设方程有分离变量形式的特解,代入齐次偏微分方程,从而把它分解成几个带有待定常数的微分方程,问题就转化为求解单变量微分方程.另一方面,要求分离变量特解满足齐次边界条件,把它转化为常微分方程的附加条件,这些条件和相应的微分方程构成本征值问题.其次,就是求解本征值问题,由于附加条件的限制,微分方程中的待定常数只能取一些特定的数值,称为本征值,与此对应的特解称为本征函数.可以证明,这些本征函数具有正交和完备性.最后就是利用方程与边界条件的线性和齐次性质,将这些特解线性叠加起来,构成所谓的一般解并使其满足其余定解条件,确定一般解中的叠加系数,数学物理方程定解问题即告解出.
3 分离变量法的适用条件
3.1 要求方程是齐次的
分离变量形式的特解只是一种假设,对普遍形式的数学物理方程都可以做出如此尝试,这种解是否真实存在,这种方法是否行之有效,都要经过具体定解问题的检验.实际上,只有对齐次偏微分方程才能在偏微分方程中实施分离变量的步骤,而对非齐次偏微分方程,原则上无法分离变量.当把分离变量特解代入齐次偏微分方程,通过变形把原方程改写成这样的等式：等式的一边只包含某个特定变量,等式另一边则包含剩余的变量,由于等式对空间的任意一点和任意时刻都要成立,等式两边就只能等于一个共同的常数,这样至少得到一个微分方程,如果还有偏微分方程,就继续进行上述步骤,直至得到关于每个单变量的微分方程为止.对非齐次偏微分方程,非齐次项是非零常数或已知函数,它无法写成分离变量的形式,也就不能进行前述分离变量过程以得到微分方程.所以要想运用分离变量法,原则上要求方程一定是齐次的.
3.2 要求边界条件是齐次的
齐次的偏微分方程经过分离变量后,最多可以得到四个单变量微分方程,这些微分方程的求解相对简单,但由于微分方程中还包含一些因分离变量而引进的待定常数,所以它的求解又变得有点不同寻常.根据分离变量法的基本理论,需要为这种微分方程配置适当的边界条件,构成所谓本征值问题.分离变量法的一个关键就是找到一组满征值问题的特解,称之为本征函数.本征值问题的构造方法是多样的,它通常由一个微分方程和边界条件组成,这里需要强调,分离变量得到的任何一个微分方程都是无法单独定解的,因为方程中含有未知的待定常数,只有同时考虑相应的限制边界条件,才能确定这些待定常数只可取一些特定的数值,即所谓的本征值,与此同时微分方程也将定解,即所谓的本征函数.现在讨论构成本征值问题的边界条件是如何确定的,由于微分方程是单变量的,与其配套使用的边界条件必然也是单变量的,它们通常由原始定解问题中的边界条件进行分离变量得到,这就要求边界条件必须是齐次的,才能分离变量得到某个单变量所满足的限制条件.当然也有一些补充特殊边界条件构成本征值问题的情况,例如在球坐标系中求解稳定场问题时,可以补充周期条件或有界条件,与分离变量得到的微分方程一起构成本征值问题.总结起来,应用分离变量法求解时域的波动方程和输运方程,一般严格要求边界条件是齐次的.
3.3 要求方程和边界条件都是线性的
通过对齐次偏微分方程和齐次边界条件进行分离变量,得到微分方程和适当的边界条件构成本征值问题,求解本征值问题,将会得到一系列的本征值和本征函数.本征函数的实质就是符合方程和边界条件的特解,这些本征函数（特解）通常具有良好的性质,例如正交、归一、完备性.分离变量法能够成功的一个关键点出现了,这些特解的线性叠加仍是偏微分方程的解,并且还能满足齐次边界条件.要做到这一点,就必须要求方程和边界条件都是线性的.在此条件下,把特解叠加起来形成所谓的一般解,注意一般解不是偏微分方程的通解,而是同时满足偏微分方程和齐次边界条件的一般解,其中必定包含一些待定的叠加系数,下一个步骤就是利用初始条件或其余（未用于构造本征值问题）的边界条件来确定叠加系数,实际上就是把表示初始条件或剩余边界条件的函数用本征函数来展开,这在数学上完全是可行的,本征函数的完备性保证了这一点,由此很容易确定一般解中的那些叠加系数.有一个特别的情况大家很熟悉,即当本征函数是正弦或余弦函数时,这种本征函数展开的实质就是傅里叶级数展开,关于级数的收敛和展开系数的计算都有严格的理论保证和成熟算法.为了保证这个过程能够顺利进行,必须要求方程和边界条件都是线性的,这也是由分离变量法的基本原理决定的.
3.4 要求边界形状是规则的
对于不同形状的边界,需要选择合适的坐标系,才能最大程度简化定解问题,才能对边界条件进行分离变量.例如对二维稳定场问题,如果边界的形状是矩形的,可以选择直角坐标系并使用分离变量法.如果边界是圆形的,那么就要选择平面极坐标系,才有可能对边界条件进行分离变量.所以对不同形状的边界,需要选择合适的坐标系处理问题.那么问题来了,要想分离变量法成功进行,除了要求方程和边界条件是齐次和线性之外,还要求边界的形状是规则的几何形式,如矩形、圆形、球形、圆柱形等,在适当的坐标系中,这些规则的边界可以用若干个只含有一个变量的方程来表示,这时候边界条件才可以分离变量,这一点容易被人忽略.
4 分离变量法的一种应用推广
通过前面的讨论,我们看到应用分离变量法的严格条件是方程线性齐次、边界条件线性齐次,边界具有规则几何形状.实际上,这些条件都是分离变量法的充分条件,其中部分条件并非必要条件,在某些特定情况下,即使上述条件不能得到全部满足,我们仍然可以通过一些数学手段,继续使用分离变量法的核心思想帮助我们解决更多的定解问题.例如对非齐次边界条件问题,严格来说只有齐次边界条件才能分离变量,但是我们总可以引进辅助函数,使边界条件齐次化,符合分离变量的要求.付出的代价可能是方程变成非齐次,即边界条件齐次了,方程却变为非齐次了,这样就要处理非齐次方程附加齐次边界条件问题,非齐次方程本身还是不能分离变量,所以仍然无法直接应用分离变量法求解.但是可以基于分离变量法的基本思想,找到一种普遍而又有效的解决方案,称之为本征函数展开法或广义傅里叶级数展开法,这种方法的关键是应用了分离变量法的本征函数概念,所以也可以看作分离变量法的一种推广应用.
5 结论
分离变量法的基本思想是通过寻找可以表达为分离变量形式的非零特解,将偏微分方程转化为微分方程,同时对齐次边界条件分离变量把它转化为微分方程的附加条件,这些条件和微分方程一起构成本征值问题.分离变量法成功的关键在于能否构成本征值问题,本征值问题是否有解,能否通过分离变量特解的线性叠加构造一般解,这些都要求方程和边界条件线性齐次、边界现状规则,它们就是分离变量法适用的限制条件.即便如此,分离变量法仍然是求解数学物理方程的一种基本解法,可以应用于满足线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题,甚至还可以在分离变量法的基础上发展一些有效解法,突破分离变量法的部分限制条件,以解决更广泛的数学物理方程定解问题.
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