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生活中抽象，合作中探究，数学中回归《导数在函数中的应用单调性》教学实践和评析
秦霞1执教,钟志华2评析
(1．江苏省南通中学,226001；2．南通大学,226001)
【教学实践】
一、教学思考
函数是中学数学学习的一个主干内容；单调性是函数的主要性质之一,主要用来刻画函数的变化趋势.导数是高等数学的基本概念,也是进一步学习数学和其他自然科学的基础；导数概念是在函数变化率（或图像切线）的基础上“生长”出来的,与函数的主要性质有着密切的联系,因而是研究函数相关性质的重要工具之一.
“导数在研究函数中的应用——单调性”是苏教版高中数学教材选修2—2第一章第三节的第一部分内容.在必修1、必修4阶段的学习中,学生学习了函数单调性的定义,并且能够借助函数图像特征和单调性定义来研究幂、指数、对数及三角函数的单调性.在前几节课中,学生学习了平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义等内容.在本节课中,学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性,掌握研究函数单调性的更一般方法；进而为后面学习函数的极值、最值等作出知识铺垫,打下能力基础,进行方法指导.因此,本节课可以起到承上启下、完善建构、拓展提升的作用.
基于本节课内容在教材中的地位和作用,结合课程标准对本节课内容的教学要求,我确定了如下教学目标：(1)借助几何直观,通过实例归纳函数的单调性与导数的关系,经历由形到数的过程.(2)理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法,能够求三次函数等函数的单调区间,经历由数到形的过程.(3)通过（初等）图像、定义方法与（高等）导数方法的比较,体会导数方法在研究函数性质时的一般性和有效性,同时感受数学自身发展的一般规律,经历数形结合的过程.
在这节课设计的过程中,我力求渗透这样的教学理念：让抽象成为一种意识,让探究成为一种习惯,让回归成为一种理念.数学源于生活,因此,我尝试通过实例引导学生用数学的眼光观察、认识世界,用数学的知识分析、解决问题,形成抽象、模型意识.发现源于探究,我尝试引导学生经历“从实际问题中获得猜想通过具体函数验证猜想回归定义、揭示本质”的探究历程,获得导数与函数单调性的关系.建构源于回归,我尝试通过练习,引导学生不断回归思维的起点和知识的本源,掌握运用导数研究函数单调性的知识与方法体系.二、教学过程（一）情境创设,在
生活实例中抽象
师（用几何画板播放动画,如图1所示）请同学们看这样一段视频,你有什么发现？
生我看到一辆汽车在往山坡上行驶,先上坡,再下坡；而且还打着车灯.噢,我还发现是在夜晚.
师不错.同学们观察能力很强.学习不仅要善于观察,而且要善于思考.同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？（学生迟疑.）
师（在几何画板中隐去山坡）能不能把这个动画与数学联系起来,看出其中的数学问题？
生我觉得可以把山坡看成一条曲线.
师很好.还有吗？
生我觉得可以把汽车看成曲线上的一个点,那么汽车的灯光可以看作该点处的一条切线.
师（同步在几何画板中将汽车化为点,车灯化为切线）刚才这两位同学分别把山坡抽象为曲线,把汽车抽象为曲线上的点,把车灯抽象为切线.很好！我们要善于用数学的眼光看待世界,要善于将实际问题抽象为数学问题.现在有哪位同学能把我们看到的这个动画用数学语言来描述一下？
（学生分组讨论.）
生我发现：如果灯光向上,说明汽车在上坡；如果灯光向下,说明汽车在下坡.
师（再次用几何画板播放动画）灯光向上,判断出汽车在上坡,对应的曲线具有怎样的特征呢？
生切线向上,即切线斜率大于O,曲线在上升；切线向下,即切线斜率小于O,曲线在下降.
师（同步板书,如图2所示）回答得很好！但是,切线向上、向下的判断有赖于直观.如何才能使我们的结论不依赖于直观呢？
生要建立平面直角坐标系.
师（在几何画板中建系,如图3所示）对！如果建立恰当的直角坐标系,我们可以将曲线看作函数y等于f(x)在区间I上的图像.那么,对应的函数具有怎样的性质呢？
（学生迟疑.）
师（又一次用几何画板播放动画）观察函数图像上每一点处的切线斜率随函数单调性的变化情况.
生在某一区间上,如果曲线上任意一点处切线的斜率大于O,那么对应的函数单调
递增；如果曲线上任意一点处切线的斜率小于O,那么对应的函数单调递减.
师我们之前学过曲线切线的斜率还与什么有联系？
生导数.
师有什么联系？
生切线在该点处的斜率即为函数在该点处的导数值.
师嗯.这其实就是我们最近所学的导数的几何意义.那么,我们能不能从导数的角度来解释前面的发现呢？
生如果在某区间上f(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.
（教师同步继续板书,如图4所示.）
[设计意图：本节课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系.这两个概念都是非常抽象的,学生很难直接感知.这里利用生活实例,即汽车灯光的指向与汽车上、下坡之间的联系,引导学生发现道路可以抽象成函数的图像,灯光可以抽象为切线,从而就把问题转化为切线斜率正、负与函数单调性增、减之间的联系.这样就轻松、高效地引入了课题,成功地激发了学生的求知欲,让学生感受到抽象的乐趣并最终将抽象内化为一种自觉的行为.当然,情境往往是内涵丰富、指向不明的,学生很难直接完成抽象.这里教师特别注意细化过程的引导,比如反复播放动画,不断进行暗示等.]
(二)多维验证,在合作学习中探究
师这个猜想对不对呢？同学们能不能举出几个常见的函数,验证一下我们猜想的结论呢？
（教师出示表1.学生独立验证并合作释疑.教师选择具有代表性的成果进行汇报展示.）
[设计意图：从猜想到验证是科学探究的基本思路.考虑到对于猜想出的结论学生尚不能证明,教师便顺着学生的思路,让学生举出已经学过的常见函数进行验证,从而深化对结论的理解；选择具有代表性的成果进行汇报展示,能够更好地帮助学生养成探究的习惯.]
师其实我们在必修l中也研究过函数的单调性,那时用的什么方法呢？
生在必修1中,我们利用单调性的定义来研究.
师那么,我们能不能从定义出发,再来探究一下导数与函数单调性的关系呢？以函数单调递增为例,我们是如何定义函数在某区间上单调递增的？
[设计意图：从“形”回到“数”,从特殊到一般,进一步验证结论的普适性.引导学生经历抓住导数和单调性定义之间的联系提炼一般性结论的过程,变被动接受知识为主动获取知识,也能够培养学生运用数学符号、回归数学本质的意识.另外,让学生经历从实例到猜想、再从猜想到验证、最后回归定义的发掘结论的过程,既降低了学生学习的思维难度,又阐明了导数法研究函数单调性的一般性.]
（三）知识建构,在数学演练中回归师有了这样的结论,我们先来解决一个熟
悉的二次函数的单调性问题.
[设计意图：对于熟悉的二次函数,学生可能首先想到的是图像直观,然后才会提出根据定义、利用导数的方法.这里通过一道例题让学生在合作中比较各种方法,由“形”到“数”地解决了二次函数的单调性问题,加强了对结论的应用和理解；同时,规范了利用导数研究函数单调性的书写,总结了一般步骤；更重要的是,帮助学生把研究函数单调性的方法由初等拓展到了高等.]
[设计意图：对于不太熟悉的三次函数,学生感到图像比较难作,定义法又相对繁琐.这里,引导学生用导数法来研究,很好地体现了用导数法研究函数单调性的优越性.在了解三次函数单调性的基础上,要求学生画出三次函数的大致图像,并对原函数图像与导函数图像进行对比分析,可以帮助学生经历由“数”到“形”的过程,深化对结论的认识.在解题过程中对学生的书写,要强调不能使用并集符号这一细节.这样完成了例题的第一次提升.]
师对于我们熟悉的三角函数,又可以用哪些方法解决它的单调性问题呢？
(教师出示例3：确定函数f(x)等于sinx（x∈（O,2兀））的单调减区间.）
生利用图像,或者用导数法来解决.
师能不能用定义法呢？
生不行,作差后不会变形.
[设计意图：学生看到三角函数的单调性,首先想到的是利用图像直观解决；但是,此时作三角函数的图像只是建立在“五点法”的基础上,并不精确、严密.而当学生发现用定义法来解决对代数变形要求比较高时,教师便可自然地引导学生用导数法来解决.从二次函数到三次函数、再到三角函数在某个区间上的单调性,题目类型的拓展,体现了导数法的普适性.在解三角不等式时,可以引导学生画出三角函数图像或三角函数线辅助解题.研究了函数的单调性后,再次画出函数的图像加以验证,则函数图像的变化趋势将更加精确、严密.]
师如果我将这个解答题改成证明题呢？
师于是,我们今后证明函数单调性有两种
方法了：导数法和定义法.
[设计意图：变式题在应用的类型上进行了拓展,旨在指出证明函数的单调性不仅有定义法,还有导数法,并且导数法更具有一般性.这样完成了例题的第二次提升.三道例题逐层推进,体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性；由形到数、由数到形,将数形结合思想贯穿始终.]
（四）课堂小结与课后作业师通过这节课的研究,你学会了解决什么
问题？又有怎样的收获与感受呢？
（教师随着学生回答,PPT展示图11.）
做题：课本P29第1、3、4题.另一部分是选做题,请有兴趣的同学思考：如果f(x)在某区间上单调递增,那么在该区间上必有f´(x)>0吗？
[设计意图：培养学生“学习 总结学习反思”的良好习惯,同时让学生通过自我评价获得成功的快乐,提高学习的信心.将作业设计为必做题与选做题,关注个体差异,因材施教；必做题为基础训练,选做题既是对本节课的提升训练,也为下节课做好铺垫.]
【教学评析】
一、巧创情境,让抽象的数学不再抽象
美国数学教育学家G波利亚指出：“抽象的数学道理虽然重要,但要用一切办法使它们看得见、摸得着.”《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学知识的形成依赖于直观.”这节课一开始,教师创设了汽车上、下坡这样一个生活情境,并把山坡抽象为一条曲线、把汽车抽象为曲线上的动点、把汽车前灯发出的光线抽象为过动点的切线.通过这样一个精心设计的教学情境来引导学生回归生活,为抽象提供了生动的思维素材和坚实的认知起点.这不仅充分地激发起学生抽象的乐趣,而且让抽象变得更直观具体、更容易理解,让抽象不再是无源之水、无本之木.更重要的作用则在于,通过这一抽象过程,还可以进一步培养学生用数学的眼光观察和认识生活现象以及用数学的语言描述和解释生活现象的能力.这是数学课程改革一直倡导的核心理念.
关于情境创设,需要说明的一点是,许多人认为情境一定要生活化,一定要是学生所熟悉的,这是一种庸俗的情境观,是“为生活而生活”.情境创设固然需要联系生活,但是不能完全把立足点放在生活上,甚至用生活来“绑架”情境.生活情境是实现教学目标的手段,要为教学服务；而不是反过来,教学为生活情境服务.数学虽然来源于生活,但是又高于生活；不能让生活情境喧宾夺主.因此,在创设情境时应该把立足点放在数学上,根据教学的内容选择最贴近的生活情境.就本节课而言,虽然汽车上、下坡这一问题并不是学生十分熟悉的,但是这个情境与教学内容“导数与函数单调性的关系”非常贴近,而且在教师展示几何动画后学生很快就能明白是怎么一回事.因此,这样的情境既符合知识教学规律,也贴近学生生活实际——这从学生的课堂反馈中也可以得到说明.
二、精设问题,让“神秘”的探究不再神秘
一直以来,人们都对数学探究（乃至科学探究）敬而远之,总认为数学探究高不可攀.其实,数学探究就在我们的身边——世事洞明皆学问.只要我们善做有心之人,常怀探究之心,就能发现数学教学中到处都蕴含着探究的题材.本节课中,无论是对导数与函数单调性关系的归纳与猜想,还是对归纳与猜想结论的验证与证明；无论是对新知识的探索与发现,还是对新知识的巩固与应用,随处都可见到探究活动的开展.
在目前的数学教学中,探究教学开展的情况还不尽人意.许多教师也知道要启发学生进行探究,但是在具体教学中要么不会启发而不得不“灌”,要么精心编制一系列问题让学生去“钻”或挖掘一个个陷阱让学生去“跳”,以借学生之口说出教师想说的话.这样的提问根本不能叫作启发,充其量只能算是“诱发”“逼发”.换句话说,许多教师热衷于按照自己的想象去筑渠、固渠,而不善于根据地形地势（知识的内在特点）和水的流势（学生的思维特点）,因势利导地开渠引水,更不愿意去蓄水（创设问题情境）,结果要么是渠已成而无水流,要么是有水流但渠未成,最后不得不徒劳地去“堵”、去“塞”.真正的启发应该深入到学生的思维层面,把启发思维而非获得结论作为目的.教师最需要关注的是,学生“在不在想”“在想什么”“是怎么想的”“为什么这么想”等问题,而不要太在乎自己想要获得的那个结果——结果应该是学生在教师正确的启发下自然而然地产生的.涂荣豹先生曾经指出：“启发探究最重要的就是,在教学中尽可能多采用一些元认知提问,少采用一些认知性提问,即通过提高问题的开放性来激发学生探究的积极性.”本节课中,“请同学们看这样一段视频,你有什么发现”“同学们看了这个视频后有没有产生什么联想”“能不能把这个动画与数学联系起来,看出其中的数学问题”“现在有哪位同学能把我们看到的这个动面用数学语言来描述一下”等多处,便正是由于有意识地采用了元认知提问,而收到了很好的教学效果.
三、善用回归,让“枯燥”的数学不再枯燥
长期以来,人们都对数学存在偏见,总认为数学是枯燥、难学的.这样一种错误的数学观对数学教学是很有害的,它像腐蚀剂一样不断侵蚀着学生学习数学的积极性和白信心.因此,数学教学中,首要（也是最重要）的事情应该是采取各种措施,让抽象、“枯燥”的数学变得生动、有趣,充分激发学生学习数学的兴趣.只有对数学产生了兴趣,学生才能乐学、好学,才能学好.
要激发学生学习数学的兴趣,关键是要准确确定学生的思维之源,如学生思维的兴奋点、生长点、发散点等.“问渠那得清如许,为有源头活水来.”只有找准学生的思维之源,教师的启发之渠才会有活水源源不断地流过.这正如美国著名教育家D·P·奥苏伯尔写在其名著《教育心理学——认知观点》扉页上的名言：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话,那么,我将一言以蔽之日：影响学习的唯一重要的因素,就是学习者已经知道了什么.要探明这一点,并应据此进行教学.”因此,在数学教学中,教师要善于运用回归策略,找准学生的思维起点,才能顺利地将学生的思维引向所要达到的教学目标——即“只有返回到思想产生的根源,这些思想才可能得到真正的理解”.本节课中,教师多处运用了回归这一教学策略.比如,在情境创设的阶段采用的回归生活的策略,不仅极大地激发了学生的学习兴趣,而且为后面的探究和抽象奠定了坚实的基础.又如,在猜想发现过程中采用的由“数”到“形”的回归,在猜想证明过程中采用的回归定义和由“形”到“数”的策略,不仅为学生证明思路的探索指明了方向,而且有利于学生科学思维能力的培养.再如,在应用巩固的阶段采用的回归基本原型的策略,步步为营地让学生将新知识的学习牢牢建立在已有知识的基础上,不仅大大地降低了学生学习的难度,而且充分地激发了学生学好数学的信心.
本文系江苏省教育科学“十二五”规划课题“基于概念图的数学研究性教学策略研究”（编号：D/2011／01／086）的阶段性研究成果之一.
参考文献：
[1]【德】汉斯格奥尔格·加达默尔,真理与方法[M]．洪汉鼎译,上海：上海译文出版社,2005
[2]钟志华,回归：一种重要的数学教学策略[J]．教学与管理,2008(1)
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