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例谈小学数和代数领域教学时核心问题的设计策略

例谈小学“数与代数”

领域教学时核心问题的设计策略

摘要：施教之功,贵在引导,而引导的主要途径在于提问,问题是数学的心脏.“核心问题”的教学模式注重建构以问题为导向的教学,因此,核心问题的聚焦设计便成了这一教学模式的基石.《义务教育数学课程标准（2011年版）》将课程内容分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域,本文根据“数与代数”的内容主线,借助实例探讨了如何从建立数概念、理解算理、建构数量关系模型、培养符号化意识的角度设计核心问题,从而构建丰富厚重的、以学为中心的课堂.

关键词：核心问题；数概念；算理；建模；符号意识

作者简介：姜华,江苏省南京致远外国语小学教师,南京市优秀青年教师.

中图分类号：G623.5

文献标识码：A

文章编号：1671-0568（2018）01-0049-04

数学家哈尔莫斯说过“问题是数学的心脏.”“核心问题”指从教学内容整体的角度或学生的整体参与性上考虑,设计的思考性强、数学味浓、需要探究、合作、交流的“牵一发而动全身”的重要问题.这种教学观念倡导以“问题”为导向来进行“板块式”的教学,问题的设计关注数学本质、挑战性、开放度.根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课程标准”）的要求,小学数学各学段主要安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”.“数与代数”在各册中都占有较大比例,其教学主线有：数概念的建立、运算的理解与掌握、问题解决与数量关系、代数初步等.笔者将尝试从“数与代数”领域的教学主线出发,结合实践谈一谈该领域核心问题的设计策略.

一、立足数概念的形成过程设计核心问题,促进概念的建构

学生学习数学是从建立数概念开始的.在义务教育数学课程中,数的概念包括自然数、整数、有理数等.数概念的形成过程是数概念外延的多次扩张过程.伴随着多次扩张的过程,教学时要找准两点：生长点和结点.“生长点”即学生已有的知识经验中与新知相关联的部分；“结点”即学生形成新概念遇到的难点.再在找准两点的基础上,设计相应的核心问题,按照引入概念——探究概念——深化概念的思路进行教学.

例如,“分数的意义”一课是典型的概念课.此前,学生对分数已经有了两次初步认识,首先认识了把一个物体平均分成几份,其中的一份或几份可以用分数表示,然后认识了把多个物体看成一个整体,平均分成几份,其中的一份或几份用相应的分数表示.对分数含义的真观认识是本课的生长点,而本课的结点则是对单位“1”意义的理解.

1. 数概念的引入

在数概念的教学中,概念的引入是第一环节.在引入阶段要理清学生已有的背景性知识,这样才能为学生高效化的概念学习打下基础.

片段一：

师：同学们,今天有一位新朋友和我们一起学习,想知道是谁吗？（板书：1）

师：谁来谈谈对1的认识.

生发表见解.

师：看来,同学们对1有着不同的看法,但我相信你们学了今天这节课以后,对1将会有一个更深刻的认识.

开门见山的问题“谈谈对1的认识”充分尊重了学生的背景性知识：小学生认识数始于自然数.教材中安排学生认识的第一个自然数是“1”,彼时学生对“1”的数概念的建立是具体的,是等价有限集合中元素的个数,可以表示 1个人、1朵花等具体的事物；随之话锋一转“相信你们学了今天这节课以后,对‘1’将会有一个更深刻的认识.”一下子打开了学生的思路,激发了学生后续学习的兴趣,更有利于学生自主对比和丰富对单位“1”的认识.

2. 数概念的形成

在数概念的形成过程中,让学生经历概念的分析、比较、归纳、综合、抽象、概括的形成过程,能有效激发学生的学习积极性,促进其对数概念的记忆与理解.

片段二：

师：如果让你用手中的材料表示一个分数能行吗？（学生每人选一种材料,表示出分数在小组内交流）

老师选择部分学生作品展示.

反馈讨论：

（1）表示什么意思？

师板书,追问表示什么意思？

生：把一块饼平均分成5份,表示这样的4份；把一些小棒平均分成5份,表示这样的4份……

师：还可以是把什么平均分得到的？

生：……

此教学片段围绕核心问题“理解单位‘1’的意义”展开设置了两个主要问题：用材料表示一个分数、分析材料表示的分数的意义.数学教学不是把现成的结论教给学生,而是数学活动的教学.学生在用材料表示分数的过程中,获得了充分从事学习活动的机会,从而为理解分数的意义和单位“1”的意义积累了相应的数学活动经验.课程标准指出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标,是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.单位“1”的概念不是教师“教”给学生的,而是学生通过经历大量的数学活动,逐步在“做”中获得的.

3. 数概念的内化

概念的内化是数概念的建立中必不可少的过程,内化概念就是加深识记概念和理解概念,就是对书本陈述的抽象的、静态的概念进行个性化的理解.

片段三：

在片段二的教学基础上,教师让学生概括地说就是把什么平均分得到的呢？

生：把1平均分成5份,表示这样的4份.

师：这里的1表示什么？

生：一个物体,一个计量单位,一些物体组成的整体……

师：像这样的1,数学上叫作单位“1”.

片段三围绕核心问题“理解单位‘1’的意义”设置了另一个主要问题：“1”还可以表示什么？数学活动不仅包括让学生参与外显行为、可观察的活动,而且也包括让学生参与积极的思维活动.让学生自主概括对单位“1”的理解,是让学生对之前用材料表示分数时积累的数学活动经验进行总结反思、自主升华,也在师生互动、生生互动中,让学生看到了问题的不同侧面,对自己和他人的观点进行反思,建构起自己对单位“1”概念的更深层次的理解.

抽象性是数学的主要特征,“数”更是抽象的产物.考虑到学生的年龄特征和认知特点,小学数学教材中通常不会给出某一类数的科学概念,而是通过列举大量实例或是给出描述性定义,让学生去认识数.那如何让学生达成对数概念的深层理解呢？可以从学生的实际出发,设计直指数学本质的核心问题（理解单位“1”的意义）,再围绕核心问题架构问题串（①谈谈对1的认识； ②用材料表示一个分数； ③分析材料表示的分数的意义； ④1还可以表示什么）,由浅入深,阶梯式地逐步“带着学生走向课本”,让学生充分经历数概念的建构过程,从而理解数概念的内涵和外延.

二、立足“点”和“面”设计核心问题,促进算理的理解

运算是数学的重要内容,在小学的两个学段中,运算都占有很大的比重.学生在学习数学的过程中,要花费较多的精力去掌握关于运算的知识和技能.课程改革之前,我们曾一度在运算方法训练的路上越走越远,大量的计算练习,让学生谈算色变.课程改革倡导算理与算法的融会贯通,给计算课教学注入了新的活力.算理的教学应关注“一点一面”：点——本节课的算理；面——算理之间的联系.主抓“点”和“面”设计相应的核心问题,能够促进学生对算理的理解.

例如,“苏教版”五年级（上册）“小数乘整数”一课,是在学生学习了整数乘法、小数的意义、小数加减法等知识的基础上进行教学的.教材中的例1要完成两个教学任务：一位小数乘一位整数和两位小数乘一位整数.张冬梅老师演绎的这节课,是抓住核心问题进行计算教学的典范,让我们见识了计算课的魅力和张力.

1.“点”上知算理

“点”指的是独立的一节计算课,有属于本课特有的算理,需要学生去理解和掌握.

片段四：

师：0.8×3等于多少呢？为什么？老师想把这个问题交给大家自己来研究.

师出示研究提示,生自主探究后,组内交流,全班汇报：

（1）单位换算：0.8元等于8角,8×3等于24角,24角等于2.4元

（2）连加：0.8+0.8+0.8等于2.4（元）

（3）列竖式计算.

师生讨论得出这三种不同的方法,计算的结果都正确.但是第三种方法最简便,因此聚焦研究竖式计算.

师生讨论得出因为0.8的8在十分位上,表示的是8个0.1,乘3得24个0.1,是2.4.

教师再借助课件图片动态演示“3个0.8合成24个0.1,是2.4”的过程.

很多时候老师对教学算理的理解只停留在表面：针对算理设计若干个小问题,以碎小的问题引领教学的单线条模式,课堂教学出现了满堂灌,满堂问的异象.其实,每个学生在走进课堂之前都不是一张“白纸”,他们在学习本课之前积累了丰富的计算经验.因此,张老师充分尊重了学生的背景知识,找准了学生的最近发展区,直接抛出了核心问题“0.8×3等于多少呢？为什么？”出示核心问题之后,老师发挥了主导作用,精心设计了研究提示：想一想：0.8×3表示什么意思；试一试：用已有的知识计算出结果；写一写：记录下自己的方法；说一说：在小组里交流自己的方法.不同的学生在数学学习中有自己的思维方式和解决问题的策略,因此出现了不同的计算方法.老师再引导学生聚焦最简便的方法,探索算理.这种以核心问题为导向的算理教学方式给了学生自主探究的空间,学习过程开放、生动、多样,学生学习数学的自主性得到了鼓励,个性得到了发展,创新意识得到了培养,促进了学生之间的交流、启迪.

2.“面”上悟算理

“面”是相对于“点”而言的,它不是指独立的一节计算课,而是多课之间算理的融会贯通.

片段五：

师：那大家说说,小数和整数相乘,可以怎样计算？

小组交流后分享.

生：小数乘整数,我们先看成整数乘整数,再看乘数是几位小数,就在积里点几位小数.

师：老师听到了这个同学说“先……再……”,谁听清楚了他说先做什么、再做什么？

生1：先看成整数乘整数,再点小数点.

生2：先当成整数乘法计算,再根据乘数是几位小数,就在积里点几位小数.

数学是个讲理的学科,而很多“理”又是相通的.那是因为很多知识点是环环相扣的,前一个知识点的学习总在为下一个知识点作铺垫.由于小数和整数都遵循十进制计数法的位值原则,小数乘法的竖式计算规则可仿照整数乘法的相应规则进行,但是二者之间又有一些区别.张老师在这里以润物无声的方式巧妙处理了另一个核心问题：小数乘整数与整数乘整数算法的区别与联系.引导学生将整数乘法的经验迁移到小数乘法中来,理解并掌握小数乘法中小数点的处理方法.这样的精心设计,让我们明白了计算课教学不仅要从“点”上重视学生对某一个计算内容算理的理解和掌握,还应从“面”上关注算理之间的联系与区别,打通知识节点,从而有助于学生对数学知识的整体架构.

计算课核心问题的设计落脚点在“算理”：借助“怎样算？”“怎样算的好？”“为什么这样算？”等一系列问题驱动学生经历探索、发现计算方法的过程,不仅让学生知道怎么算,还知道为什么这么算,让抽象算法建立在学生清晰理解算理的基础上,从而实现算理与算法的融通,算理与算理融会贯通,提升学生的运算能力.

三、立足模型思想设计核心问题,建构数量关系模型

模型思想作为一种数学思想要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程,教师要在教学过程中注意根据学生的年龄特征和不同的学段要求,逐步渗透模型思想.

常见的数量关系都属于规则,通过对关系的把握,可以为学生提供问题解决的思路.如何让学生领会数量关系的价值,不能靠死记硬背.模型这种特殊的数学结构能够抽象、概括地表征所研究对象的主要特征、关系.如果借助核心问题,将数量关系的教学与模型思想相结合,将会深化学生对数量关系的认识.

以“苏教版”四年级（下册）“常见的数量关系”一课为例.从模式看,“总价等于单价×数量、路程＝速度×时间”这两组关系都属于“乘法关系”,它们是“总数＝每份数×份数”关系的具体化（更高层面上看,就是“几个几相加”的乘法意义具体化）.在一般的教学设计中,本课通常会根据教学目标设计两个核心问题：①理解数量关系：总价等于单价×数量；②理解数量关系：路程＝速度×时间,很显然这两个核心问题突出的都是基础知识.如果在此基础上追加一个核心问题“能不能用自己喜欢的方式来表示这两个数量关系”,将会对本课的教学起到画龙点睛的作用.在这样的任务驱动下,有的学生想到了这两个常见的数量关系其实与二年级时学习的乘法问题有联系：路程和总价都相当于总数、速度和单价相当于每份数、时间和数量相当于份数；还有的学生想到了用线段图来表示两个数量关系：

至此,借助核心问题将本节课的两个重点数量关系与二年级的知识进行纵向打通,深化了学生对这几个量之间关系的理解.这种模型思想的建立已经不仅仅是对知识的理解,而是一种更高水平的抽象,离散的模型在此得到了生成与重塑.

四、立足符号意识设计核心问题,突出从算术到代数的符号化转变

数量关系的符号表示是代数的灵魂,从算术到代数的符号化转变是需要学生跨越的一道坎.用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程,是学习和认识数学的一次飞跃,是学生从算术进入代数世界的起点.由于几年的算术学习的经历,学生还不太习惯用字母表示数,以至于感到有些困难.如何设计核心问题关注学生符号意识的培养,是值得探究的话题.

片段六：

师：在历史上,对于数量和数量之间的关系,我们人类最初是用文字表示的.课件出示：每个重量×4,每个价钱×4,每班人数×4,（其中“重”“价”“人”用红色标出）,显然比较烦琐.因而,古希腊数学家丢番图想到了用缩写的方法来表示.仿照丢番图的方法,这里的“每个重量×4”,取“重”发音的第一个字母,表示成“z×4”.那么“每个价钱×4”和“每班人数×4”怎样用缩写的方法表示？

生：j×4和r×4.

师：丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系,虽然简洁了,但每个字母都表示特定的意思,不能把z×4和j×4混同起来,所以,并没有给数学家研究数学带来更多的简便.到16世纪,法国数学家韦达想,如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话,不都是一个数和4相乘吗？（课件中的“z×4和j×4”依次变为“□×4”）所以,韦达就表示成了a×4,这里的a还是特定的意思吗？

生：（齐）不是！

师：对,字母a已经不表示任何具体的意义,和这里的小方块一样,只是一个符号而已.自从韦达把字母当作符号来表示数之后,许多数学难题得到了解决,数学获得了飞速发展,韦达被称为现代代数学之父.从丢番图用缩写方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数,用了整整1200年！

在教学中通常会围绕“①如何用字母表示数？②如何用含有字母的式子表示简单的数量和数量关系？”这两个核心问题进行教学,而常常忽视了学生符号意识的培养.符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应,它也是一种积极的心理倾向.更多地表现为以学生为主体的一种主动运用符号的意识,符号意识的培养不能单纯地依赖推演训练和模仿记忆.“发展学生的符号意识”应成为本节课的另一个重要的核心问题.

教师借助数学史料带领学生经历了文辞代数、缩写代数、符号代数三个“历史进程”,也是带领学生经历了一个逐渐抽象的过程,让学生体会到用字母表示数和数量关系既有简约性又有概括性,让学生对“用字母表示数”有了一个更数学化的理解,逐渐增加了学生对字母表示数的积极情感,符号意识的培养也进一步落到了实处.

“核心问题”对课堂的积极作用表现得更“聚焦”,能直接指向学习的重点和难点,“搅动”“促成”学生的数学思维发展.“基础知识”方面是我们设计核心问题的主要落脚点,这个落脚点能让我们的课堂基础更扎实；从基本思想方法、意识的培养等角度出发设计核心问题能让课堂教学更为丰富与厚重.以核心问题来组织和调动学生学习,让数学课堂从“教为中心”转向“学为中心”,学生的学习才能真正地发生.

参考文献：

［１］吴存民．以“核心问题”为导向的数学课堂教学初探［Ｊ］．教学月刊小学版,２０１４．７－８．

［２］张冬梅．“小数乘整数”教学实录及反思［Ｊ］．小学数学教育,２０１６,（１）．

［３］赵芳燕．基于经验亲历过程感悟模型——常见的数量关系教学实践思考［Ｊ］．中小学数学,２０１７,（４）．

（编辑：胡璐）

小学数论文范文结:

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