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紧扣一一对应,探究间隔排列

吴青(江苏省南通师范学校第二附属小学,226001)

摘 要:间隔排列问题背后隐藏着一一对应思想.教学中,要紧扣一一对应思想,深入探究间隔排列的内在本质.回顾导入环节,学生想到“圈一圈”的操作,可引发对一一对应思想的回忆,并逐渐清晰化、明朗化;操作探究环节,学生所掌握的规律,已经不仅仅是纯粹的数量上的规律,还包括间隔排列的内涵;拓展延伸环节,有意识地让学生进一步体会一一对应思想,巩固对间隔排列规律的理解和运用.

关键词:一一对应间隔排列规律本质

苏教版小学数学三年级上册《解决问题的策略》单元之后,安排了一节活动课,内容为“间隔排列”.这其实就是以往教材中的“找规律”,让学生通过观察、比较、概括,从而得出首尾相同和首尾不同这两种情形下间隔排列的两种物体个数之间的规律.

对于这个内容,有些教师是让学生观察教材给出的情境图,分析兔子和蘑菇的个数、夹子和手帕的个数、木桩和篱笆的个数,进而发现:当首尾两端物体相同时,两端的物体比中间的物体多1;当首尾两端物体不同时,两种物体的个数相等.间隔排列的内容,这样教学就可以了吗?

一、教学内容分析

对比苏教版新、旧教材,我们会发现,关于“间隔排列”这个教学内容,新教材有两个重大变动.

第一,原来的内容叫“找规律”,现在叫“间隔排列”.虽然名称不同,给出的例题不同,实质却是相同的,那就是我们所说的“植树问题”.但是,这只是名称的改变吗?

“找规律”,侧重于“找”的过程,依据数量的分析、比较,发现两种物体个数之间的关系,找到间隔排列的规律.而“间隔排列”则没有指明是“找”规律,更重要的是探究、发现间隔排列背后的数学内涵.所以,我们不能仅仅局限于“找”规律,而要站在更高的层次审视这个教学内容.

第二,原来的“找规律”内容是作为一个独立的单元进行教学,而现在则安排在《解决问题的策略》单元之后,作为一节活动课呈现出来.这样的变动,是教材内容的弱化,还是对教学提出了新的要求?

苏教版小学数学教材从三年级开始,在每一册中都安排了《解决问题的策略》的单元,集中向学生介绍在解决实际问题中所用到的一些策略,比如从条件想起、画图、列表、倒推、假设、转化等,这些策略其实都是数学思想方法在解决一类问题时的具体体现.“间隔排列”这个内容放在《解决问题的策略》单元后,很明显,教材编者希望能够凸显间隔排列问题中的数学思想元素,通过分析间隔排列的问题,让学生感悟其中蕴含的数学思想,从而达到方法的引领、思想的内化,而不只是简单的“找”规律.

仔细分析教学内容,我们会发现,间隔排列问题背后隐藏着重要的一一对应思想.

“一一对应”是集合论中的一个基本概念,是研究函数的重要工具,同时也是研究计数问题的一种重要方法.在一一对应思想的背后,则是函数思想.函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律.函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.在小学阶段,函数思想的具体表现就是一一对应思想,这是函数思想的基础,也是函数思想的核心.所以,对一一对应思想的理解,将会直接影响学生以后对函数思想的理解与掌握.因此,在小学阶段,要让学生充分感受一一对应的思想,帮助学生认识一一对应的实质,为以后更好地掌握函数思想打下扎实的基础.

一一对应思想,对三年级的学生来说并不陌生,因为早在一年级学习“比多、比少”时,就已经开始接触了.比如:●有4个,★有6个,★比●多多少个?我们可以把●和★一个一个地对应排列(如图1):

为了让学生更加清楚地看出●和★个数之间的相差关系,我们还可以将●和★圈起来(如图2),或者用虚线分隔开(如图3):

通过以上这些方法,将●和★一个一个地对应起来,学生一下子就能够看出,左边的4个★能够和上面的4个●对应起来,而后面还有2个★就没有相应的●和它对应,这就说明★比●多2个.

在这个问题中所采用的“一个一个对应起来”其实就是一一对应,通过一一对应,学生能够清楚地发现两种数量是否同样多,相差多少.学生在这个过程中初步体会了一一对应思想,认识到一一对应思想在比较两种物体的个数时所起到的作用.而这正是一一对应思想的本质体现,通过一一对应,我们可以方便地比较物体的多少.

在间隔排列的问题中,一一对应思想显得尤为重要.如果我们只是通过观察例题中的几组间隔排列,让学生发现两种物体个数之间的规律,这样的过程只是在“找”规律.学生能够发现个数之间的规律,但是他们所掌握的只是间隔排列的表面现象,至于为什么会有这样的规律,他们无法解释.而要想发现规律背后的本质,理解间隔排列的数学内涵,就需要用一一对应思想来进行深层次的剖析.

二、教学过程优化

结合上面的分析,在教学中,我们需要紧扣一一对应思想,深入探究间隔排列的内在本质.

(一)回顾导入

比如在这节课的导入部分,我们可以创设一个“猜猜看”的游戏情境.出示一串珠子,开始时只有两颗珠子露在外面,分别是绿色和红色的珠子,其余都藏在一个盒子里.每次从盒子里拉出来一颗珠子,让学生猜一猜接下来出现的会是什么颜色的珠子.当最开始只有两颗珠子在外面时,学生都猜不出来,因为不知道珠子的排列规律.但是从第三颗珠子开始,他们就发现了这串珠子的排列规律是:绿—红—绿—红—绿—红……因此,很容易就能够猜出接下来的珠子是什么颜色.

当一共出现8颗4绿(浅色)4红(深色)的珠子时(见图4),让学生思考:现在拉出来的珠子中,绿珠和红珠谁多谁少?你是怎么知道的?大部分学生都是通过数知道的.这时教师追问:如果不数的话,你能不能想办法让大家一眼就看出它们一样多呢?学生经过观察思考之后发现,可以把一个绿珠和一个红珠圈在一起.绿珠和红珠就像两个好朋友,有一个绿珠就有一个红珠和它对应,我们就说绿珠和红珠是一一对应的.

在这个导入环节中,当学生想到把一个绿珠和一个红珠圈在一起时,这个简单的“圈一圈”的操作,引发了他们对一一对应思想的回忆,并逐渐清晰化、明朗化.在接下来的教学中,我们就需要不断地强化学生对一一对应思想的认识,并且利用一一对应思想深入研究间隔排列的规律.

(二)操作探究

接下来,观察兔子和蘑菇之间的数量关系,当学生说出兔子的个数比蘑菇多1时,教师可以追问:“你是怎么知道的?多出来的那一个兔子在哪里?怎样就能让别人一下子看出兔子比蘑菇多了一个?”在这样的追问下,学生又想到了圈一圈的方法(见图5),将一只兔子和一个蘑菇圈在一起,最后多出了一只兔子.

这里,再次用到了圈一圈的方法,将一只兔子和一个蘑菇圈在一起.也就是把兔子和蘑菇一一对应起来,这样就能一下子看出来:最后一只兔子没有蘑菇和它对应,所以兔子比蘑菇多一个.接下来,让学生自己在图上圈一圈,研究夹子和手帕、木桩和篱笆个数之间的关系.在一一对应思想的指引下,学生利用圈一圈的方法,发现最后都有一个物体多出来,没有和它对应的物体,所以两端物体比中间物体多1个,从而直观地揭示出首尾相同的间隔排列的规律.

接下来,研究首尾不同的间隔排列时,也让学生圈一圈,从而发现:两种物体刚好能够一个对应一个,没有剩余,所以两种物体一样多.

在这个教学过程中,我们有意识地运用了一一对应思想,通过圈一圈,使两种物体一个对应一个,从而发现首尾相同和首尾不同两种情形间隔排列的规律.在一一对应思想的引导下,学生所掌握的规律,已经不仅仅是纯粹的数量上的规律,还包括间隔排列的内涵,更加深刻地认识到:为什么两种物体同样多或者两端物体比中间物体多1个.即使忘记了这些规律,他们仍然可以再次运用一一对应思想来探究并重新发现这些规律.

(三)拓展延伸

在拓展延伸环节,我们有意识地让学生进一步体会一一对应的思想,巩固对间隔排列规律的理解和运用.我们让学生自己设计男生和女生排队的方案,给定4名男生,让学生自己选择几名女生组成间隔排列,并上台演示,进而对几种不同的排队方案有直观的认识.

我们的实践操作并没有止于此.教材中研究的间隔排列都是直线型的,但生活中我们经常会遇到圆型的间隔排列.作为拓展延伸,我们随后给出12名男生(用表示)和12名女生(用表示),让学生将他们排成一排(见图6),接下来,再将这一串间隔排列首尾相接起来,成为一个圆型(见图7).这时让学生观察并思考:这个圆型的间隔排列,男生与女生人数是否相等?你是怎么知道的?学生通过圈一圈(见图8),可以发现男生和女生一一对应,所以人数一样多.同时,随便在圆形排列的某个位置剪断、拉直,就会成为一个首尾不同的直线型间隔排列,所以也可以得到男生和女生的人数一样多的结论.

在这个教学过程中,一一对应思想在解决圆型的间隔排列问题时再次发挥了重要作用,通过圈一圈,学生一下子就能发现:两种物体的个数一样多.同时,通过简单的“剪断”“拉直”操作,把圆型和直线型沟通起来,让学生认识到:圆型的间隔排列,其实就是首尾不同的间隔排列将首尾连接起来之后的一种变形而已.由此,促进了数学知识之间的联系和整合.之所以选择12个男生和12个女生,是因为排成圆型之后,恰好和钟面非常相似,男生和女生分别对应着钟面上的数字和大格,这样就能让学生认识到:熟悉的钟面上也存在着间隔排列,更加充分地感受到数学知识无处不在.

从上面的分析中可以看出,在间隔排列的教学中,有意识地突出一一对应思想,不仅能够帮助学生更好地认识几种不同排列方式的数量关系,而且能让学生发现间隔排列的本质规律,从而对间隔排列有一个全面、深刻的认识.

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