毕业论文网
本文是一篇关于高中数学论文范文，可作为相关选题参考,和写作参考文献。
高中数学恒成立问题的类型与解题策略
范泽欢
（广东省江门市棠下中学 广东 江门 529000）
摘 要：恒成立问题一直以来是高中数学学习中的一个热点和难点,这类问题没有一个固定的处理方法.本文主要通过实例说明高中数学恒成立问题的解题策略与技巧.
关键词：恒成立问题；高中数学；解题策略与技巧
作者简介：
范泽欢,现就职于广东省江门市棠下中学,研究方向：高中数学.
高中数学恒成立问题把不等式、函数、数列、三角、几何等内容有机结合起来,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程思想等方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点难点,考生在做这类题目时失分较严重,作者认为在数学学习中有必要对高中数学常见的恒成立问题进行归类的探讨,以便更有把握应对高考.本文就恒成立问题的解题策略与技巧,从以下七个方面进行举例说明.
一、一次函数型
给定一次函数y等于f(x)等于kx+b(k≠0),若y等于f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,由一次函数图像可知,当k>0时,函数y等于f(x)在[m,n]上单调递增,要使f(x)>0恒成立,则只需f(x)min等于f(m)>0即可,同理可得：当k<0时,函数y等于f(x)在[m,n]上单调递减,要使f(x)>0恒成立,则只需f(x)min等于f(n)>0即可.亦可合并成,从而避免分类讨论,简化运算.同理若y等于f(x)在[m,n]内恒有f(x)<0,则有 .
例1、已知一次函数f(x)等于(m-2)x+2m-6,若对于任意x∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围.
解：当m等于2时,此时f(x)等于-2<0,不符合题意,当m≠2时,因f(x)是一次函数,依题意得：,即,解得：,综上所述：
二、二次函数型
二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者有着密切的联系,一元二次不等式问题都可以转化为二次函数或一元二次方程问题,并借助二次函数的图像或一元二次方程的判别式、根的分布等解题.
若所求问题可转化为一元二次不等式,则可应用判别式法解题.一般地,对于二次函数f(x)等于ax2+bx+c(a≠0,x∈R).①f(x)>0对x∈R恒成立,②f(x)<0对x∈R恒成立 .
例2、已知关于x的不等式(m-2)x2+(m-2)x+1>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
分析：利用二次项系数的正负和判别式求解,若二次项系数含参数时,应对参数分类讨论.
解：当m-2等于0,即m等于2时,1＞0恒成立,符合题意.
当m-2≠0,即m≠2时,要使不等式对一切实数恒成立,,解得：2<m<6.综上所述：2≤m<6.
三、分离参数,转化为求函数最值问题
例3、（2016江苏高考）已知函数f(x)等于2x+2-x,若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.
解：由已知得：f(2x)等于22x+2-2x等于(2x+2-x)2-2等于(f(x))2-2
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以对于x∈R恒成立,转化为求不等式右边函数的最小值问题,而,当且仅当,即f(x)等于2,此时x等于0时,等号成立.故m≤4,所以m的最大值是4.
四、换元设参,揭示问题的本质
例4、对于所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围.
分析：观察不等式特点,将看做一个整体,不等式左边可简化,因而采用换元法简化计算.
解：设,则,不等式可化为：(3-t)x2+2tx-2t>0,它对任意实数x都成立,则有：,即解得：t<0,即,解得：0<a<1.
五、变更主元,简化解题过程
例5、若对于0≤m≤1,方程x2+mx-2m-1等于0恒有实根,求实根范围.
分析：直接分离参数法,难于求解,不妨变更主元,将方程左边看成关于m的函数,则方程恒有实根,转化为求关于m的函数在[0,1]内恒有零点,由零点存在性定理可求x的范围.
解：以m为主元,设f(m)等于(x-2)m+x2-1,对于0≤m≤1,方程x2+mx-2m-1等于0恒有实根,等价于f(m)在[0,1]内恒有零点.
由零点存在性定理得：f(0)·f(1)≤0,即(x2-1)·(x2+x-3)≤0
解得：
恒成立问题一般都是已知变量的取值范围,求参数的取值范围,而本题却是已知参数的取值范围,求变量的取值范围,因而不妨换位思考,变参数为主元,转化为一次函数型恒成立问题,就可迎刃而解.
六、构造函数,数形结合
例6、方程 恒有两个解,则b的取值范围？
解：构造函数,方程恒有两个解,等价于函数恒有两个交点,函数f(x)等于x+b表示一条表示(0,0)为圆心,半径为1的上半圆,画出两个函数图像如图所示：
数形结合：当直线经过(-1,0)(0,1)时,此时直线与上半圆刚好有两个交点,当直线向上平移至刚好与上半圆相切时,此时求得由此可得：当直线与上半圆有两个交点,则.
以上是恒成立问题的常见七种情形,通过归纳总结,我们可以掌握恒成立问题的一般解题策略,以便更好的把握高考热点、难点问题,决胜高考.
参考文献：
[1]张长明.浅谈有关恒成立问题的解题策略与技巧[J].科技信息,2011,07:211.
[2]武开宏,杨子林.例析与数列有关的不等式恒成立问题的解题策略[J].数学学习与研究,2012,17:85.
高中数学论文范文结:
大学硕士与本科高中数学毕业论文开题报告范文和相关优秀学术职称论文参考文献资料下载，关于免费教你怎么写高中数学方面论文范文。
1、高中数学论文题目
2、高中数学论文
3、高中数学期刊
4、高中数学教学论文
5、中学生数学杂志