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秦九韶：古代数学集大成者
引语
中国传统数学发展到宋元年间达到了鼎盛时期.秦九韶是南宋时期著名数学家,与李治、杨辉、朱世杰并称为我国十三世纪四大数学家.1247年,他完成的数学宏著《数书九章》,标志着世界数学在中世纪达到的最高水平,奠定了其时人难以望其项背的数学地位.
秦九韶（1 208年一约1 268年）,字道古,祖籍为鲁郡（今山东兖州）.其提出的高次方程的数值解法和解一次同余问题的总数术,“正负开方术”与“大衍求一术”都已成为经典,也标志着在中世纪世界数学成就的最高水平.
学识渊博的青年才俊
如果将秦九韶和意大利文艺复兴时期的风云人物相比,竟有几分相似：他多才多艺,懂得星占、数学、音乐、建筑,还擅长诗文,会骑术、剑术、踢球等.这些与他自幼生活的地方以及他的父亲有很大的关系.
翻开今天的中国地图,在成都市东南方向,北纬30度与东经1 05度的交汇处,连绵不断的小山丘与平地,被绿茵茵的稻田、麦地和郁郁葱葱的林木打扮得色彩缤纷、景色迷人.1 208年春,秦九韶就出生在这富饶之地——普州（今四川安岳）,并在这里度过了无忧无虑、天真烂漫、欢快活泼的少儿时代.
普州城天庆观街曾有“秦苑斋”,据普州民间故事《秦团练奉祠谢赐》,秦苑斋是秦家宅院,是秦九韶少年时生活、读书的地方.
秦九韶的父亲名叫秦季槱,绍熙四年（1 193年）与南宋哲学家陈亮、程璐一起参加科举考试,成为同榜进士（当时的最高学位）.嘉定五年（1 21 2年）六月,任巴州（今四川巴中）太守,九岁的秦九韶随家人离开普州到巴州与父亲团聚.数年后遭遇兵变,秦季槱携全家到达南宋都城临安（今浙江杭州）.
父亲任职工部郎中和秘书少监期间,正是秦九韶努力学习和积累知识的时候.工部郎中掌管营建,而秘书省则掌管图书,其下属机构设有太史局,因此,秦九韶有机会阅读大量典籍,并拜访天文历法和建筑等方面的专家,请教天文历法和土木工程问题,甚至可以深入工地,了解施工情况.他曾向“隐君子”陈元靓学习数学,向著名词人李刘学习骈俪文辞,并达到较高水平.通过这一阶段的学习,秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者,时人说他“性极机巧,星象、音律、算术,以至营造等事,无不精究”“游戏、球、马、弓、剑,莫不能知”.
1 225年7月,1 7岁的秦九韶随父亲回川至潼川（辖今四川三台县）.蒙古军队已侵入今甘肃、陕西一代,北方的抗蒙斗争如火如荼.南宋朝廷“募义兵五千人,与民约曰：‘敌至则官军守原堡,民丁保山砦,义兵为游击.”’在各地建立了民间武装.通武知兵的秦九韶担任了民间武装的“义兵首”,维护地方治安.四年后,绍定二年（1 229年）十月,秦九韶被擢升为郪县县尉.
传承创新的大数学家
宋代郭县属潼川府,为潼川府治所在.现在,三台县还流传着民间故事《秦县尉巧断农夫边界案与县学先生的解读》.故事说,绍定四年（1231年）六月,郪江沿岸暴雨成灾,秦九韶在郪县核桃坝遇见两位农夫为洪水冲毁的农田边界发生争执.
秦九韶细心地倾听他们各自诉说洪灾前田块的形状、大小.姓柳的农夫说他的田原来像三角形,姓郭的农夫也说他的田原来像三角形；姓柳的农夫又说他的田要大点,姓郭的农夫也说他的田小不了多少.秦九韶细心地观察了两人被冲毁、已经夷为平地的田块,不但变成了四方形,还被水冲去一隅.他接着走进被冲毁的田块里步量,很快步量出了大中小斜各种数据,然后对两个农夫说：我来帮助你们划定边界.秦九韶用“漂田堆积”的题解方法,按照大中小斜的数据,算出了他们田地的面积,划出了两位农夫非常满意的边界,使人十分敬佩他的才华.这件事很快在当地传开了,碰到生活生产中需要用数学知识解决的问题,当地的农民总会找上门来,请秦九韶帮助解决,秦九韶也总是乐意帮忙.
端平二年（1 235年）七月,蒙古军队进入四川.嘉陵江流域战乱仍频,秦九韶不得不经常参与军事活动,饱受战争之苦.他后来回忆道：“际时狄患,历岁遥塞,不自意全于矢石间,尝险罹忧,荏苒十祀,心槁气落.”嘉熙元年（1 237年）,潼川失守,秦九韶被迫再次离川,往东南避难.先后担任过蕲州（今湖北蕲春）通判及和州（今安徽和县）太守,后定居于湖州（今浙江湖州市吴兴区）.
这个阶段,他先后担任武官和文官官职,公务繁忙,只能利用业余时间研究数学.他曾经担任过“义兵首”和县尉,这都是武官.《数书九章》中的军旅类,显然与他担任这些经历有关.他曾两度担任通判,通判是一种管钱粮、户口、赋役等工作的官职.《数书九章》中的田域类、赋役类、钱谷类,显然与他担任通判的经历有关.他将这些研究成果,写成笔记和草稿,为他以后写作《数书九章》作了充分的准备.
淳祜四年（1 244年）八月,秦九韶担任建康（今江苏南京）府通判.同年十一月,他的母亲在湖州逝世,他请假回到湖州家中,为母亲守孝三年.三年间,他总结经验,专注于数学研究,于淳祜七年（1 247年）,完成了数学巨著《数术大略》,即《数书九章》.该书著述方式,大多由“问日”“答日”“术日”“草日”四部分组成.“问日”,是从实际生活中提出问题；“答日”,给出答案；“术曰”,阐述解题原理与步骤；“草曰”,给出详细的解题过程.该书共18卷,分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易等九大类,每类用9个例题（全书共81题）来阐明各种算法.许多计算方法直到现在仍有很高的参考价值和实践意义,被誉为“算中宝典”,是国内外公认的一部世界数学名著,代表着中世纪世界数学的最高水平.数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著,特别是高次方程的数值解法‘正负开方术’和‘大衍求一术’,是中国古代数学研究的明珠,在世界数学史上占有崇高的地位.那时欧洲漫长的黑夜犹未结束,中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒.”
数学思想的历史光芒
“正负开方术”是中国数学史上的一大重要成就,这在世界数学史上也是最早的.在欧洲,直到1 9世纪初叶,类似的方法才由意大利数学家鲁斐尼于1804年、英国数学家霍纳于1 81 9年提出来,欧洲人将此称为“鲁斐尼一霍纳方法”.这一方法与秦九韶提出的“正负开方术”十分类似,但足足晚了600年.正因为如此,早就有学者认为,欧洲的“鲁斐尼一霍纳方法”理应改称“秦九韶方法”.此外,秦九韶还改进了一次方程组的解法,用互乘对减法消元,与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式,可使它扩充到一般线性方程中的解法.在欧洲,最早的一次方程组的解法是1 559年法国人布丢给出的,他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组,比秦九韶晚了31 2年.
秦九韶把在他之前的中国古代历法推算上的“上元积年”算法与《孙子算经》中的“物不知其数”题的解法联系起来,进一步阐述了整数论中一次同余式问题的解法,并与《周易》中的“大衍之数”相附会,写出了“大衍求一术”.他系统地介绍了这种计算方法,即：三三数之余数乘70,五五数之余数乘21,七七数之余数乘1 5,三数相加,减去1 05的倍数,即得所求的数.后来有人把秦九韶的这个算法编成歌句：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.”秦九韶的“大衍求一术”算法系统地指出了求解一次同余组的一般计算步骤,正确而又严密.《数书九章》用大量的例题,如“古历会积”“积尺寻源”“推计土功”“程行计地”等等,广泛应用“大衍求一术”来解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题,充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧.在西方,直到1 8世纪中叶和1 9世纪初,数学家欧拉和高斯等人才对联立一次同余式方程进行了较为深入的研究,并得到了与秦九韶的“大衍求一术”相同的结果.但这已经是500年以后的事了.正因为如此,欧美的整数论者都十分推崇秦九韶的伟大贡献,并把他的“大衍求一术”称为“中国的剩余定理”.
遗憾的是秦九韶的手稿在当时并没有引起大的影响,没有为他同时代的人所充分理解和应用,杨辉、朱世杰都没有引用过秦九韶所创造的“大衍求一术”,明代中叶以后几乎失传.直到1 842年第一次印刷后,才引起了如黄宗宪、李锐、张敦仁、骆腾风等许多学者的兴趣.不过,当秦九韶的“大衍求一术”传到欧洲后,却引起了欧洲学者的兴趣和重视.德国著名数学家康托高度评价了“大衍求一术”,称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”.直到今天,“大衍求一术”仍然引起西方数学史家浓厚的研究兴趣.1 973年,美国出版的一部由比利时人力勃雷希撰写的数学史专著《十三世纪的中国数学》中,系统介绍了中国学者在一次同余论方面的成就,在评论秦九韶的贡献时说：“秦九韶在不定分析方面的著作时代颇早,考虑到这一点,我们就会看到,美国著名科学史家萨顿称秦九韶为‘他那个民族、他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一’,是毫不夸张的.”这样的评价,算是对秦九韶的数学思想在他所处的时代不被充分认识的最好补偿了.
宝祐二年(1254年),秦九韶回到建康,改任沿江制置使参议,不久去职.宝祐六年（1 258年）任琼州（今海南省琼县）太守,但三个月后被免职.秦九韶从琼州回到湖州后,投靠吴潜,得到吴潜赏识,两人关系甚密.吴潜曾相继在开庆元年（1 259年）拟任以司农寺丞,景定元年（1 260年）拟任以知临江军,都因遭到激烈反对而作罢.在南宋统治集团内部的激烈斗争中,吴潜被罢官贬谪,秦九韶也受到牵连.景定二年（1 261年）,秦九韶被贬至梅州做地方官,“在梅治政不辍”,约在1 268年死于任所.
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