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数学建模：从铺垫到拓展《三角函数的应用》教学设计
朱 威
(江苏省苏州中学校,215007)
在高中数学教学中,学生对数学建模的感受常常是一个字：“难”.其原因有很多,而主要的是教师在教学中以直接灌输解题方法为主,没有能让学生自然获得思路,深入展开探究.其实,数学建模并不是“面目狰狞”的；它源于实际、有法可依,是亲切的、好懂的.我们可以通过合理的教学设计,让数学建模变得有趣、简易.下面,以笔者执教的公开课《三角函数的应用》（教学内容是苏教版高中数学教材必修4第一章第三大节第四小节）的教学设计为例加以说明.
一、教学设计及思考
(一)源于生活,兴趣为上
数学建模其实就是在现实事物的基础上建立数学模型.因此,教师可以通过实物原形来引入,给学生真实的感受与体验,激发学生的好奇,启发学生的思考,从而缩短具体与抽象的距离.
三角函数的应用相当广泛,因而教材提供了三个不同领域的典型问题.考虑到教学容量与学习深度的问题以及转动的轮子与学生的生活关系更为密切,笔者选择例2作为本节课的主要内容,并且为此设计了如下引入内容：
数学与现实生活是密不可分的,数学在现实生活的应用也是非常广泛的.这节课,我们要通过数学建模来解决一类实际问题.在生活中,我们会与轮子打交道,比如车轮、水车轮、摩天轮等等.现以水轮为例：水轮上一动点到水面的距离与时间的变化关系如何用数学模型来刻画？这将是我们今天学习的主题.接下来,便讲述“轮的数学故事”.
上述简短的开场白,能使学生立即产生学习兴趣,也很容易进入本节课的探究情境.
(二)精巧铺垫,逐步渗透
教材中的例2是一个包含两问的应用题,对于初次接触这类问题的学生来说,有点复杂,信息量偏大,转化过程偏多,不易理解和解决.为了让学生容易接受并主动探究,笔者设计了三组、每组三个层次不同的铺垫练习,作为学生理解和解决例题的基础：
1．如图1,OP等于r,且OP与x轴正半轴所成的角为60°,则点P的坐标为__________.
2．如图2,OP＝r,且α是始边在x轴正半轴,终边按逆时针方向旋转到OP所成的角,则点P的坐标为__________.
3．如图3,OP＝r,且α是始边在x轴正半轴,终边按顺时针方向旋转到OP所成的角,则点P的坐标为______.
小结1 OP等于r,且α是始边在x轴正半轴,终边按顺（逆）时针方向旋转到OP所成的角,则点P的坐标都可以表示为______.
4．如图4,点P在半径为r、圆心在原点的圆上,且α是始边在x轴正半轴,终边按逆时针方向旋转到OP所成的角,则点P的坐标为______.
小结2 半径为r、圆心在原点的圆上的动点P的坐标都可以表示为______.
7．如图7,A是圆与x轴正半轴的交点,点P自点A开始在半径为3、圆心在原点的圆周上逆时针运动,每分钟运动两圈,则点P的纵坐标y与时间2（分钟）的函数关系式为___________.
开始在半径为3、圆心在原点的圆周上逆时针运动,每分钟运动两圈,则点P的纵坐标y与时间2（分钟）的函数关系式为______.
9．如图9,A是圆与y轴正半轴的交点,点P自点A开始在半径为3、圆心在原点的圆周上逆时针运动,每分钟运动两圈,则点P的纵坐标y与时间2（分钟）的函数关系式为______.
小结3 不论点P点怎么旋转,关键是求出______与______所成的角,然后转化为上一题组,建立三角函数模型来解决.
在“主角”“出场”之前,先让“配角”“暖场”.通过上述九个小题的层层推进,为解决例2奠定建立三角函数模型之基础.这样学生学起来才能轻松自如,乐此不疲.
(三)循序拓展,层层深入
教材中的例2只有两问,没有发掘相关三角函数模型更多的应用价值,且没有满足学生更多的探究.于是,笔者对该例题进行了拓展,循序渐进地追加了六问：
例题 一个半径为4m的水轮如图10所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,如果当水轮上的点P从水面浮现时（图中点A处）开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.
(2)点P第一次到达最高点需要多少时间？
(3)点P在什么时间点到达最高点？
(4)将点P距离水面的距离d(m)表示为时间t(s)的函数.
(5)点P第一次从水面潜入需要多少时间？
(6)点P在什么时间段在水面下？
(7)在水轮转动一周内,点P有多长时间在水面下？
(8)假设水底为一平面,水深为5m,将点P距离水底的距离y(m)表示为时间t(s)的函数.
这六问是乘着学生的探索兴趣,根据学生的接受情况,层层推进、顺理成章产生的.学生不知不觉地接受了它的“难度”,也在此过程中提升了建模能力.
值得一提的是,这里笔者还对例2的条件作了一点数据上的改变：将水轮的半径3m改为了4m.这是因为按照3m计算,会出现一个需要查表才能得到三角函数值的非特殊角,这样会给解题带来不必要的麻烦；而按照4m计算,建模的过程是一样的,解题的难度则大大降低了,这样便突出了教学的重点,同时能不知不觉地锻炼学生的直觉思维能力.
(四)乘胜追击,推向
最后,当学生成功解决例题时,笔者又设计了如下反思性追问：
该题还有其他的解法吗？
有没有其他的建立坐标系的方法？
改变坐标系后,结果会不会改变呢？
由此,可以引导学生展开进一步的探究,充分挖掘例题的价值,并且认识到“变中不变”的数学思想,感受到“殊途同归”的数学魅力.
二、教学反思
数学建模的探究并不是一蹴而就的.在数学建模的教学中,教师要营造贴近学生实际、易于学生参与的问题情境以及探究氛围,即造势利导.而在这个过程中,教师一定要研究学生的认知基础,遵循学生的认知规律,即循序渐进.比如,本节课一开始,教师造出了“轮”的势,贴近学生实际,易于学生参与；接着循序渐进,给出了三组、每组三个铺垫练习,为例2的数学建模奠定了基础；然后因势利导,帮助学生顺理成章地构建了三角函数模型.同样,在例2原有的两问研究之后,学生掌握了建立三角函数模型的方法,但是感觉意犹未尽,于是教师又因势利导,给出了拓展的六问,带领学生继续探究；最后,教师还拋出了关于其他建模方法的追问,把学生对数学建模热情与思考又一次推向.
总之,数学教学的过程也是师生共同探索未知的过程.上述课例中,虽然问题情境在变,但是探究思想始终不变.
数学建模论文范文结:
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