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微积分应用在经济应用数学中的教学

摘要：数学在经济生活中的应用非常广泛,微积分不仅是经济应用数学中的重要组成部分,同时也是对社会经济现象进行定性和定量分析的必要工具.在教学过程中,启发式教学不能单纯讲理论讲方法.本文以投资问题和洛伦兹曲线问题两类典型应用作为例子,剖析微积分的概念,探索微积分在社会经济生活服务中的魅力.从而论证了启发式教学中专业实际相结合的重要性.

关键词：微积分；经济应用；启发式教学；洛伦兹曲线

中图分类号：O172 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）27-0073-03

一、问题情境

（一）导语

恩格斯曾给数学下过一个定义,数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学[2].可见数学是其他一切自然科学的根源.在《自然辩证法》中,恩格斯阐述了微积分产生的重大意义,文中阐述：“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”,“自然界运用这些微分即分子时所使用的方式和所依据的规律,完全和数学运用其抽象的微分时的方式和规律相同”.微积分的产生,为其他科学技术的发展提供了重要的理论方法.例如,利用导数研究经济函数（如需求函数、成本函数、收入函数和利润函数等）的边际变化的方法,称为边际分析方法,比如边际成本,边际收入和边际利润,这里的边际函数,就是它的导数[3][4][5].教学主体为财经类院校学生,学生在专业学习中遇到的经济问题多,但缺乏问题分析的能力,特别是微积分这部分的知识.下面将以投资问题和洛伦兹曲线问题这两类典型应用作为例子,对微积分在经济中的应用进行分析和探讨.

（二）投资问题[7][10]

问题情境：投资问题是人们常常关注的重要问题之一,人们常说：“理财有风险,投资需谨慎”.通过投资,希望获取收益的同时,也需要考虑风险问题,投资要为自己的错误买单,为自己的正确狂欢.

例1 张三一家人最近考虑购买一套商品房,需要向银行抵押借贷S等于72万.设贷款年利率为r,每月等额还款,N等于30年内还清贷款,每月应还银行P元.如果银行的年利率由10%增加到10.3%,试估算张三每月向银行多付多少贷款？

分析：银行还款方法有等额本金还款法和等额本息还款法两种,本例探讨的是等额本息还款法.该案例运用到了微积分中的求导法则,微分近似表示.通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx等于Δx.于是函数y等于f（x）的微分又可记作dy等于f忆（x）dx.函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.P的求解与变量S,r,N有关,下面计算各月还款后仍所欠贷款.

等额本金还款法和等额本息还款法略有不同,要根据具体情况来选择相应的还款方法.

（三）洛伦兹曲线问题[7][10]

问题情境：洛伦兹曲线研究的是国民收入在国民之间的分配问题.为了研究国民收入在国民之间的分配问题,美国统计学家（或说奥地利统计学家）M.O.洛伦兹（Max Otto Lorenz,1903-）1907年（或说1905年）提出了著名的洛伦兹曲线.意大利经济学家基尼在此基础上定义了基尼系数.

洛伦兹曲线用以比较和分析一个国家在不同时代或者不同国家在同一时代的财富不平等,该曲线作为一个总结收入和财富分配信息的便利的图形方法得到广泛应用.

定义（基尼系数）：设实际收入分配曲线和收入分配绝对平等曲线之间的面积为A,实际收入分配曲线右下方的面积为B.其计算公式如下.

显然,基尼系数不会大于1,也不会小于零.联合国有关组织规定,基于“基尼系数”的经济学判断.一般来说,一个国家的收入分配,既不是完全不平等,也不是完全平等,而是介于两者之间.

例2 表2给出了1989年美国家庭收入的具体数据,试运用基尼系数分析该国家庭收入分配差距情况.

分析：表2将1989年美国家庭收入分为8个不同的组,每组对应着相应的家庭户数,实际收入,利用这些数据材料,首先可以获得相应的洛伦兹曲线,然后通过非线性多项式拟合的方法近似给出相应曲线的多项式函数,最后通过微积分中的定积分的相关概念求出面积A和B,进而计算获得基尼系数,并对收入差距情况进行科学判断.

解：（1）绘制洛伦兹曲线（见下页图1）

（2）多项式拟合曲线（见下页图2）

（3）求解基尼系数（见下页图3）

因为r≥0.5,根据判断,1989年美国家庭收入差距悬殊.

在案例2中,本文运用多媒体技术,将美国家庭收入的具体数据运用图象描绘出来,引导学生通过观察,理解洛伦兹曲线；更进一步,通过多项式拟合的方式,帮助学生理解曲线的求解思路；最后探讨隐藏在数据中的经济实质问题.

二、结论

本文以投资问题和洛伦兹曲线问题两类典型应用作为例子,针对财经类专业实际,设置问题情境,通过逐步引导,挖掘本质,将微积分知识阐述到位,牢牢抓住教与学的关系,教是引导,学是主导.运用微积分的相关概念,探索微积分在社会经济生活服务中的魅力.当然,两个典型应用不仅仅运用到微积分的相关知识,还运用到了数学归纳法、多项式拟合等理论知识.数学在经济生活中的应用非常广泛[6][8][9],微积分不仅是经济应用数学中的重要组成部分,同时也是对社会经济现象进行定性和定量分析的必要工具.通过本文的阐述,论证了启发式教学中专业实际相结合的重要性.

参考文献：

[1]陈琦,刘儒德.当代教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,2007.

[2]恩格斯.自然辩证法[M].北京:中国人民出版社,1971.

[3]邹永红.浅谈高等数学中微积分的经济应用[J].法制与经济:下旬刊,2009,(1):127-128.

[4]谭瑞林,刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化,2008,(4):392-393.

[5]黄燕平.经济管理专业微积分教学渗透专业思想探究[J].湖南科技学院学报,2009,(8):12-14.

[6]罗敏娜.基于数学史背景的微积分教学[J].沈阳师范大学学报:自然科学版,2011,(4):578-580.

[7]刘云芳,胡婷,周海兵.经济应用数学:微积分[M].武汉：华中科技大学出版社,2015.

[8]吴元芬.论微积分在经济分析中的应用[J].数学学习与研究,2010,(15):55-56.

[9]张宝全“. 微积分”教学中融入数学文化的教学设计[J].新课程研究:中旬刊,2010,(12):57-58.

[10]皮利利.经济应用数学[M].北京:机械工业出版社,2010.

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