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问学，向思维深处《和的奇偶性》教学和
摘 要：《和的奇偶性》一课,让学生经历举例、观察、猜想、验证、归纳、总结等过程,通过自主探究与合作交流,了解两个或几个数的和的奇偶性,初步发现其中蕴含的数学规律.同时,进一步积累数学活动经验,感受由具体到抽象、由特殊到一般的研究方法.
关键词：问学课堂和的奇偶性课堂实录
【教学内容】
苏教版小学数学五年级下册第50～51页.
【教学目标】
1.通过自主探究与合作交流,了解两个或几个数的和的奇偶性,初步发现其中蕴含的数学规律.
2.经历举例、观察、猜想、验证、归纳、总结等数学活动过程,通过数形结合感受由具体到抽象、由特殊到一般的研究方法,提高推理能力.
3.进一步积累数学活动经验,增强与他人合作交流的意识,增强学好数学的信心和应用数学的意识.
【教学过程】
一、游戏激趣,初探规律
(一)通过游戏初步感受规律
师这节课我们从一个数学游戏开始,（出示图1）谁来读一读游戏规则？
图1
生任意点两个颜色相同的球,如果两个球上数的和是偶数就不获奖,两个球上数的和是奇数就可以获奖.
师谁想先来试试手气？
（第一位学生点出了4和18,第二位学生点出了12和18,学生判断都没有获奖.第三位学生上台点开了左边袋子中所有的数,发现都是偶数.）
师你泄露了天机,如果只点的球,你们觉得能获奖吗？为什么？
生不能获奖,因为的球上全都是偶数,偶数+偶数等于偶数.
师大家不可能再点的了,那怎么点呢？谁来试试？
（第四位学生点出了7和15,第五位学生点出了9和19,学生判断这两位同学依然没有获奖.）
师你们觉得继续点红色的球能获奖吗？为什么？
生不能,因为红色的球上全都是奇数,奇数+奇数等于偶数.
师这是大家猜测的,我们一起来看一看到底是不是这样,（点开所有红色的球）红色的球上面全都是奇数.大家觉得不能获奖的原因是什么呢？
生因为奇数+奇数等于偶数.
（二）通过不同方法验证规律
师刚才通过这个游戏得到了这两个猜想,到底对不对呢？我们还得怎样？
生举例子验证.
［思考：游戏环节旨在激起学生对本节课知识学习的兴趣.看似随机的点球,背后隐含了教师的引导.的球上都是偶数,红色的球上都是奇数,一方面通过基本的计算发现“奇数+奇数等于偶数,偶数+偶数等于偶数”,积累基本的数学活动经验；另一方面,引发学生进一步猜想：“奇数+奇数等于偶数,偶数+偶数等于偶数”这样有趣的现象是否成立,产生探究的.］
师没错,举例子确实是咱们验证猜想常用的一种方法,其实除了举例验证还有其他的方法,请看屏幕,（出示图2）如果用一个小方格表示数字1,两个小方格就表示2,3个小方格就表示3……第一排的数都是奇数,第二排的数都是偶数,因为偶数都是2的倍数,所以我们刚好能摆成这样的两排,它的后面都是这样平平的、齐齐的,奇数都是2的倍数多1 ,所以它后面都有这样的“小尾巴”.我们也可以尝试用拼图的方法进行验证.
图2
［思考：给学生提供适当的学具是非常有必要的.这里,通过摆方格的方式进行验证,让抽象的数据变得形象直观,“让思维看得见”,更为后面进行多个奇数以及多个偶数相加和的奇偶性判断提供多维的思考方式.］
（教师出示小组活动要求：1.用自己想到的方法验证两个偶数或奇数之和的奇偶性.2.尝试用不同的方法验证.）
师用举例子验证的同学来说一说.
生我写了很多,例如3+5等于8,20+46等于66……我发现：奇数+奇数等于偶数,偶数+偶数等于偶数,但是用举例子的方法写不完,所以用省略号表示.
师是啊,举例子举不完,所以说证明一个结论需要举很多例子,但是要注意是否会出现反例,因为只要有一个反例就说明结论是不成立的.举例子的过程中,有没有举到反例？
生没有.
师看来举例子可以验证刚才的两个猜想是正确的.除了举例子,有没有不同的方法？
生用小方格拼一拼.（边拼出图3边解释）这两种颜色的方格都是偶数,拼在一起后刚好还是两排.说明结果是2的倍数,2的倍数就说明它一定是一个偶数,所以偶数+偶数一定是偶数,不管怎么更换偶数,结果都是偶数,因为后面都没有小尾巴.
图3
生两种颜色的方格都是奇数,因为它们后面都有一个小尾巴,但是把这两个方格图拼在一起,（拼出图4）后面的小尾巴就没有了,所以奇数加奇数一定等于偶数.
图4
师用图验证很有趣,大家想象一下两个奇数相加的图,两个小尾巴拼在一起,和就一定是偶数.看来拼图也可以帮我们验证猜想,还有其他验证的方法吗？
生我认为,偶数+偶数还是偶数,2a是一个偶数,它是2的倍数,2b也是一个偶数,也是2的倍数,2的倍数加2的倍数的和还是2的倍数,所以偶数+偶数等于偶数；2a+1也就是偶数加1,是一个奇数,同样2b+1也是一个奇数,因为(a+b)×2 是一个偶数,所以2a+1+2b+1等于(a+b)×2+2的和一定是偶数,所以奇数+奇数等于偶数.
师这位同学能用这么严谨的方法进行验证太了不起了,掌声再次送给她！如果我们将字母验证的方法和拼图联系起来,这里的2a其实就表示刚才图中的一个偶数,这里的2b表示另一个偶数.它的和还是偶数.谁能结合字母表示和图来解释一下奇数+奇数等于偶数呢？
生2a+1和2b+1中的两个1就是两个小尾巴,连在一起后小尾巴就没有了,所以两个奇数和一定是偶数.
师很明显,在这个游戏规则下不可能获奖.如果继续游戏,要想获奖的话,你打算怎么办？
生我打算偶数点一个,奇数点一个.因为无论什么奇数与什么偶数的和一定是奇数,我们可以用拼图的方法轻易地看出红色(浅)方格表示一个奇数,（拼出图5）蓝色(深)方格表示一个偶数,奇数加偶数后,奇数的小尾巴还在,所以能断定和一定是奇数.
图5
［思考：鼓励学生尝试用不同的方法进行验证,其实是不同思维方式的体现,不同能力层次的学生选择的方法不同,思考问题的方式也不一样.三种不同的验证方法为学生提供了不同的学习路径,这样既能尊重学生的思维差异,同时也能让思维的过程可视.再将几种不同方法进行对比与互补,通过对比异同将不同的思维方式之间进行勾连.］
二、放手体验,探索规律
师这样确实可以获奖.如果把游戏规则换稍微难一点,只点若干个奇数或者若干个偶数,如果数的和是偶数就不获奖,数的和是奇数就可以获奖.你们觉得还有获奖的可能吗？到底怎样才能获奖呢？请大家小组研究：（1）你认为怎样才能获奖？为什么？（2）在小组中交流你的想法.
师有选若干个偶数的吗？
生没有,因为若干个偶数是不可能获奖的,偶数+偶数等于偶数,3个偶数相加还是偶数,4个偶数相加还是偶数,不管多少个偶数相加都是偶数,所以永远都不可能获奖.
师看来你们选的都是奇数,请你说一说,你们选了几个奇数？
生选3个、5个、7个都可以,只要选奇数个奇数就行.
师为什么不选偶数个奇数呢？
生因为两个奇数的和是偶数,再加两个奇数还是偶数,再加两个奇数还是偶数.把两个奇数看成一组,偶数个奇数的和还是偶数.
师那你们觉得这个游戏获奖的奥秘在哪里？小组讨论一下.
生只要点奇数个奇数就能获奖,因为奇数个奇数的和还是奇数.
师刚才同学们又有了三个新的发现：若干个偶数的和是偶数,偶数个奇数的和是偶数,奇数个奇数的和是偶数.你觉得三条发现中哪一条最特别？
生我认为奇数个奇数的和是奇数最特别,因为其他两个的和都是偶数,而这个的和是奇数,所以它最特别.
［思考：放开探究空间,让学生完全自主地探究若干个奇数的和的奇偶性与若干个偶数的和的奇偶性,学生可以根据原有的知识与学习经验经历完整的学习过程.在这个过程中,前面提供的三种验证方式成为学习的支撑,学生并不需要再摆图或者举例子,根据已有的经验就可以开展推理活动,进行概括总结,这正是具象思维向抽象思维提升的过程.］
师再改一改游戏规则：从黄球和红球中各点若干个球,如果数字的和是偶数就不获奖；数字的和是奇数就可以获奖.小组里商量一下,你们打算怎么办.
生我点了2个偶数,1个奇数,和是奇数.
生我点了10个偶数,5个奇数,和是奇数.
生我点了11个偶数,7个奇数,和还是奇数.
生我点了1个偶数,1个奇数,和还是奇数.
师你们觉得能不能获奖,关键看谁的个数？
生奇数的个数.奇数的个数都是奇数个,偶数的个数可以是奇数个也可以是偶数个.偶数的个数不会影响和的奇偶性,只要奇数的个数是奇数个,和就一定是奇数,就一定能获奖.
师刚才这个游戏,如果老师把两个袋子里的球混到一起,你还会坚持刚才的选择吗？为什么？
生因为混到一起后还是有黄球和红球两种颜色的球,黄球上都是偶数,红球上都是奇数,那只要点奇数个奇数就可以了,偶数的个数不影响和的奇偶性,所以我坚持刚才的选择.
师透过现象看到了问题的本质,了不起！刚才玩的几个游戏都被你们破密了,下面我们玩抢答,好吗？
三、巩固练习,运用规律
(一)数学书的页码
师任意翻开一本数学书,翻开两页页数的和是奇数还是偶数？
生奇数,因为任意翻开一本书的两页页数都是两个连续的自然数,也就是一个奇数一个偶数,那和就是奇数.
师那如果再翻一页,得到的四页的和呢？
生偶数,因为四页有两页是奇数,两页是偶数,奇偶混合时和的奇偶性与奇数的个数有关,所以偶数不需要看,这里是两个奇数,所以和还是偶数.
［思考：看似简单的求数学书页数的和,不仅是对前面所学知识的练习,更是对学生全面思考问题能力的考验.］
(二)数组的奇偶性
师太厉害了,接下来就是真正的抢答环节了,老师会快速出示一组数字,请你快速判断和的奇偶性,好吗？
（教师依次闪过数字28、31、60、72、14、199.）
生和是偶数,因为刚刚出示的数中有两个奇数,两个奇数的和是偶数.
师你为什么只说奇数的个数呢？
生因为当奇偶混合在一起的时候,偶数的个数是不影响和的奇偶性的,只要看奇数的个数,现在奇数有两个,所以和是偶数.
（教师接着闪过数字33、155、67、216、98、22、43、110、52.）
生我觉得和是奇数,因为刚才闪过的数字中有5个奇数.
师你们刚才抢答时,有什么奥秘吗？
生只需要注意奇数的个数,因为奇偶混合时和的奇偶性只和奇数的个数有关,奇数个奇数和就是奇数,偶数个奇数和就是偶数.
［思考：通过练习,进一步加深对和的奇偶性的认识.学生在抢答的过程中,能够真正体会到判断一组数据和的奇偶性就看其中奇数的个数,奇数个奇数和就是奇数,偶数个奇数和就是偶数,而偶数的个数并不影响和的奇偶性.］
(三)连加算式和的奇偶性
师了不起的总结！那1+3+5+7+9+…+29,和是奇数还是偶数？
生我觉得它们的和是奇数,因为1加3加5加9一直加到29,说明它们是连续的奇数在相加,而里面有15个奇数,所以和还是奇数.
师如果题目变成1+2+3+4+5+6+7+8+…+30,和是奇数还是偶数呢？
生我觉得和是奇数,因为从1一直加到30里面有15个奇数、15个偶数,偶数不用看,15个奇数的和还是奇数,所以和还是奇数.
师观察这两题,你有什么发现？
生第二题里面有奇数有偶数,其实就是在第一题的奇数里加了偶数,并不影响和的奇偶性,因为当奇偶混合时,和的奇偶性就看奇数的个数,现在奇数有15个,所以和就是奇数.
四、课堂总结,体验方法
师今天这节课,我们通过摸球游戏、抢答游戏一起研究了和的奇偶性,你有什么收获吗？
生我们通过小组合作,从简单到复杂,一起探索了和的奇偶性的规律,很有成就感.
生一组数的和的奇偶性主要看这组数中奇数的个数,有奇数个奇数,和就是奇数,偶数个奇数,和就是偶数.
生举例子、拼图、用字母式子都可以验证自己的想法.
师其实大家可以带着我们今天验证猜想的方法验证其他的奇偶性,例如积的奇偶性,期待你们的研究成果.
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