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应用GeoGebra进行数学探究
一、什么是GeoGebra
GeoGebra是由数学教育博士Markus Hohenwarter教授发明的一款结合几何、代数（包括微积分和统计）功能的动态数学软件,旨在帮助教师设计有趣的教学方法,为学校提供充满活力的数学教学.“GeoGebra”是由“Geometry”的前三个字母与“Algebra”的后五个字母组合而成的,含义是结合了几何(Geometry)与代数(Algebra).GeoGebra的功能非常贴近数学教学使用,并提供了56种语言支持,近几年来,已在欧洲和美国荣获多项教育类软件奖项,并在世界各地的中小学课堂上得到越来越广泛的应用.
二、GeoGebra的优势
GeoGebra主要有如下优点：(1)它是免费的；(2)它是开源的,在程序员、数学教师、数学家和其他使用者的相互协作下而得到发展；(3)它频繁地被更新,有出色的支持团体；(4)它可以在多种操作系统下运行,如Win-dows、Mac、Linux等；(5)它可以在不同设备上运行,如计算机、移动电话、图形输入板等；(6)它可以增进数学分支之间的联系,如代数、几何、计算、统计等；(7)它能被各个层次的学生所使用,从小学生到研究生；(8)它有多样的呈现方式,如方程、图形、表格等；(9)它内容直观、界面友好,容易使用；(10)它有优雅的外观和富有活力的色彩；(11)它的文件能容易地作为小程序上传到网上；(12)它能输出不同的文件格式,如png、pdf、eps等；(13)它支持Latex排版系统.
目前,几何画板(The Geometer´s Sketch-pad)是国内最普及的数学教学软件,但它的局限性也不少.几何画板设计的本意是用于平面几何的教学,因此其绝大多数功能都是基于尺规作图来完成的,而其代数功能较为薄弱.这样,用几何画板辅助函数与解析几何的教学,就会遇到许多困难.而GeoGebra除了有很强大的几何功能（可以更方便地作出各种圆锥曲线）,还有很强大的代数功能（包括微积分与统计功能）.更可贵的是,GeoGebra将几何与代数两大功能有机融合,做到了图形与数式的同步变化.例如,当A、B、C是一个三角形的三个顶点时,在命令输入框中输入(A+ B+C)/3,即可得到△ABC的重心；在命令输入框中输入x2／4 - y2／9—1,即可得到对应的曲线.这些作图过程显然比几何画板要方便很多.这就好比我们有两条腿,若只用一条腿来走路,就会比较艰难；而若两条腿都可以自如使用,走起路来则会容易许多.
和图形计算器相比,GeoGebra的优势更加明显.图形计算器不菲,且显示屏较小.而目前计算机已经比较普及,在计算机上安装GeoGebra,就可以将其方便地应用于数学教学中.此外,GeoGebra的iPad版与安卓手机版已经出现,我们可以在iPad或安卓手机上安装并使用这一软件,使其同样便于携带.因此,GeoGebra既经济又方便,有理由成为国内最普及的数学教学软件.
三、应用GeoGebra进行数学探究
GeoGebra在数学教学中具有广泛的应用,它既可以优化内容的呈现方式,又可以丰富学生的学习方式.在数学探究的过程中,GeoGebra可用于数学结论的发现与验证,同时可以激发探究兴趣,优化探究过程.
应用GeoGebra进行数学探究活动,学生不再是“听数学”,而是亲自动手“做数学”,也不再是“配角”,而是“主角”,这样能极大地调动他们数学学习的主动性与积极性.学生通过自主实践活动,能亲身经历数学结论的发现与验证过程,加深对数学本质的理解,同时提升自己的分析与解决问题能力、探究能力和创新意识.
【案例1】探究指数函数的性质
打开GeoGebra,利用滑杆来设置参数以,然后作出函数y等于a2的图像；拖动滑杆,观察图像随参数以的变化而变化的情形（如图1～图3）.也可以将图像的属性设置为“跟踪”,这样图像随参数以的连续变化情况就更加清晰了.
经历上述过程,学生容易得出指数函数y等于a2的图像与性质,并且对于分O<a<l与以>1两种情形来讨论印象更加深刻.除此之外,学生对于为什么指数函数的底数要规定为a>0,以≠1也会有所体会.这样的探究不是先人为主的,而是自然而然的,更加符合学生的认知规律.
【案例2】探究指数函数与其反函数图像的公共点个数
从本案例中可以看出,GeoGebra可以为学生的探究搭建平台,帮助学生直观地发现一些数学结论,从而体会到数学发现的快乐,并为进一步的探究创造条件.
【案例3】探究圆锥曲线中的折痕包络问题
关于椭圆的定义有一个经典的折纸包络问题：如图7,在圆心为A、半径为r的圆形纸片上取一点C (O<|AC|<r),在圆周上任取点M,然后将纸片折起,使点M与点C重合,可得折痕FG,随着点M的变化,可以得到不同的折痕,那么这些折痕所围成的图形是什么呢？若要具体、详细地实施这一折纸实验,需要较多的时间,并且显示的图形也不够清晰、直观.
而利用GeoGebra进行模拟实验,则操作更加方便,并且图形也非常清晰、直观.操作过程如下：(1)以坐标原点为圆心、r为半径作圆,在其内部取非圆心的点C；(2)利用滑杆来设置参数以,并让以在[0,2π]中取值,取点M(rcosa,rsina),作线段MC的中垂线,与圆交于F、G两点；(3)隐藏坐标轴与直线FG,连结线段FG并设置跟踪,然后在滑杆属性中打开动画.由此可以得出许多折痕,它围成的图形就一目了然了（是椭圆,如图8）.下面的工作就是利用椭圆的定义来证明所围成的图形是椭圆.
上述模拟实验还有一个好处：若将定点C拉到圆外的某一位置,重复上面的操作,则折痕所围成的图形是双曲线的一部分(如图9),这显然比实际的折纸操作方便多了.
【案例4】探究圆锥曲线过定点弦的性质
探究的性质可以是弦的中点轨迹、弦的端点坐标之间的关系、弦的端点处的切线的交点轨迹等.可以从简单、特殊的情况人手进行研究,然后逐步一般化.可以先用Geo-Gebra来发现结论,再用解析法予以证明；也可以先用解析法得出结论,再用GeoGebra来加以验证.这样数形结合,会使探究活动更加顺畅、自然,也更加深入.
例如,我们研究圆锥曲线过定点弦的端点处的切线的交点轨迹问题.首先,考虑抛物线.对于抛物线y2 等于2px,利用GeoGebra不难发现：焦点弦的端点处的切线的交点轨迹是一条直线,这条直线正好是抛物线的准线（先从具体图形中发现相关特征,由此提出猜想,再用解析法给予证明）.然后,我们将焦点推广到对称轴上的定点(t,0)(t>0).这时,可以用同样的方法得出弦的端点处的切线的交点轨迹仍是一条直线,其方程为x--t(如图10).
我们还可以将定点进一步一般化,从而将探究进一步延伸.
参考文献：
[1]寇恒清．GeoGebra在高中数学教学中的应用初探[J].数学通报,2015 (9)
数学论文范文结:
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1、数学小论文六年级
2、生活和数学论文
3、小学数学教育杂志
4、数学小论文三年级
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