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两句话轻松解决方程问题例谈方程问题的解决策略
一、错题呈现
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这三个是人教版教材五年级上册第五单元“简易方程”中学生最易出现的典型错误.
二、题型分析
形如a-x等于b的方程,教材第68页有例5“20－x等于9”,学生作业情况稍好；形如a÷x等于b的方程,教材中没有相应的例题,课后练习有一道选择题“3÷x等于1.5（x等于0.5 x等于2）”,另有两道解方程题“2.1÷x等于3 6.3÷x等于7”.这种安排不是很科学,学生的答案是套出来的,而不是从方程中解出来的.
形如a-bx等于c,教材中一道题也没有,编者可能把它归在a-x等于b中了,配套的作业本第50页有一题“18－2x等于16”,却没有专门的习题做分析讲解,但后来解决问题时却经常出现,学生根本没形成解题技能.
形如a（x-b）等于c的方程,教材在给出第69页例5（如下图）解方程2（x-16）等于8的第二种解法时,“2×16”这一步没出现,直接出现2x－32等于8.对乘法分配律掌握不扎实的学生根本无从得知这一步是从哪里来的.
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形如ax&plun;b×c等于d的方程,即a（x&plun;b）等于c的展开式.本单元涉及的习题共有四道,配套的作业本另有四道,练习很充足,但因为没有专属例题,教师往往一笔带过,结果一些理解能力稍差的学生一错再错.
三、解决策略
解方程的过程实际上是一连串依据等式性质而展开的演绎推理过程,最终将原方程转化为与其等价的“x等于？”形式,“x等于？”是方程变形的目标,说白了就是解决这样一个问题：当x取什么值时,能使等式成立？建立方程的概念是学习解方程的基础,等式的基本性质是解方程的基础,所以理解方程的意义及掌握等式的性质,是解方程的前提.我认为,只要掌握好以下两句话就可轻松解决方程问题.
第一句话：先把负的变成正的.
形如“a－（÷）x等于b”的方程（包括a-bx等于c）,这看似简单的方程,为什么学生错误率居高不下呢？原因是方程里的未知数逆向呈现,既然是逆的,那就先把它变成顺的.
“减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算”这是学生早已牢固掌握的知识,低年级时“做减法想加法”“做除法想乘法”已成为学生计算减法和除法的顺口溜.把这个已掌握的知识挖掘出来,与解方程联系在一起,让学生明白把逆向的题首先改成顺向的题,问题就简便多了.就好像人走路一样,顺着走方便,倒着走或因怕碰撞,或因怕摔倒,或因怕走歪,总之十分方便.对于形如a-bx等于c的方程,我们可利用等式的性质,在方程两边同时加bx,如18－2x等于16,方程两边可同时加2x,再移项,变成18-16等于2x；对于形如a÷bx等于c的方程两边同时乘x,如3÷x等于1.5,变成3等于1.5x,这样一变,负的变成正的,新知就变成了旧知,问题也就迎刃而解了.
第二句话：能算的要先计算.
形如a（x-b）等于c,ax&plun;b×c等于d的方程,学生解题错误率高的原因,一是不会把小括号里的算式看成一个整体；二是方程里至少有两个运算符号.
一个算式或一个含有字母的式子,可以看成一个整体来思考,这样的思考模式对于五年级学生来说是第一次出现.方程是个新知识,用字母可以代替一个数参与运算更是一个新鲜事物,是小学阶段学生形象思维向抽象思维过渡的典型例子.这种思维背景下再要求把小括号里的算式看成一个“整体”,这无疑会成为学生解方程的绊脚石.如何帮助学生找到搬开这块绊脚石的办法是我们一线教师长期探讨的问题.
我在突破“a（x-b）等于c”这个难点时,先引导学生复习小括号的作用：小括号除了能改变运算顺序外,还能把括号里的算式看作一个整体来参与运算；然后再让学生把小括号里的“x-b”看成一个整体来进行计算.多次的教学实践发现,学生还是避开整体利用乘法分配律来解题顺手,也可与直接给出展开式ax&plun;b×c等于d的方程合并教学,使解决策略前后连贯.
下面重点介绍形如ax&plun;b×c等于d方程的解决策略.首先与四则运算挂钩,但不是用它们之间的关系,而是用运算顺序.对于乘除加减混合运算的题,先算乘除后算加减.如方程3x-2×6等于24（作业本第72页）,教学时我先提问：“方程左边既有减法又有乘法,我们要先算什么？”学生认为应先计算出2×6等于12,方程演变成ax-b 等于c的形式,接着就利用上面第一句话,先把负的变成正的,两边同时加12,方程变成3x等于24+12,这样方程右边又可先算了,3x＝36,至此方程得解.
“我们要先算什么？”这一“问”至关重要,抓住了问题的本质,学生就不会急着利用等式的性质在方程两边同时除以6,而出现错误了.
形如ax+bx等于c的方程,也可套用“能算的要先计算”这句话.“3x+x+6等于26（课本第72页）”是课本中稍复杂的一道方程题,在讲评这道题时,我提问：“这个方程中有能先算的吗？”当原方程变成“4x+6等于26”后,新问题又可用老办法解决了.
以后面对稍复杂的的方程,如左右两边均有未知数的方程,也可运用“先把负的变成正的”“能算的要先计算”来解决问题,与中学阶段的“先合并同类项”顺利“会师”.
当然,要十分重视方程的检验,要让学生在理解“方程的解”的含义的基础上,用代入法检验,养成及时检验的好习惯.
四、实践反思
“简易方程”是小学阶段集中教学代数初步知识的单元,从算术到代数是人们对现实世界数量关系的认识的一次飞跃,也是数学思想方法的一次突破.以前教材给出的解方程的主要依据是加减运算与乘除运算的关系,虽易于理解,但要记忆的关系式太多,加法、乘法各一个,减法、除法各两个,一共有六个,解题时学生错误率高,学习效果很不理想.
我带了九届毕业生,进行了九次方程教学,实践,提炼,再实践,再提炼.“先把负的变成正的”“能算的要先计算”,这两句话不仅使学生体会到方程的实质,及方程中蕴含的等价思想和建模思想,还让学生体验到解决问题的策略——把未知的转化为已知的,即先找到自己认知领域的“最近发展区”,再超越这个“最近发展区”,从而到达更新更高的思维领域.
（责编 黄春香）
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