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一维无限深势阱问题的可视化
袁训锋, 侯茹, 汤引生
(商洛学院 电子信息与电气工程学院, 陕西商洛726000)
收稿日期：2016-02-20
基金项目：商洛学院教育教学改革研究项目(13JYJX136)；陕西省教育科学“十二五” 规划项目(SGH13401)
作者简介：袁训锋,男,湖北神农架人,博士,副教授
摘 要:采用解析法和可视化分析两种方法,对一维无限深势阱中微观粒子的能级、波函数和概率密度函数的特征进行了研究.结果表明：坐标轴的平移变换是求解一维无限深势阱中微观粒子的能级、波函数简洁可行的方法.随着势阱宽度增加,微观粒子体系能量减小,各能级之间的能量间隔减小；微观粒子的波函数和概率密度函数曲线与x轴有n+1个交点,波函数具有n个极值,概率密度函数具有2n-1个极值.
关键词:无限深势阱；可视化；能级；波函数；概率密度函数
中图分类号:O413.1文献标识码：A文章编号：1674-0033（2016）02-0015-04
无限深势阱是量子力学中最基本的模型,对理解量子力学理论具有重要意义,是量子力学课程中的教学重点和难点.在实际的复杂的量子系统中,通常采用无限深势阱的结果近似理解.因此,深入研究无限深势阱问题具有重要的实践和教学意义.
在无限深势阱问题研究中,王建伟等[1]在求解一维无限深势阱中微观粒子能级和波函数的基础上,分析了势阱宽度对能级和波函数的影响.符立亚[2]、王党朝等[3]对一维无限深势阱进行扩展探讨,证明粒子处于叠加态,能量本征值大于零.张小伟等[4]对量子力学教学中无限深势阱问题内容进行了教学设计.刘登云[5]、贾晶[6]对一维无限深势阱的波函数进行了分析,发现量子力学中的波函数能够相差一相位因子.门福殿[7]、杨秀会[8]在动量表象中求解一维无限深势阱问题.张春国等[9]、夏吾吉等[10]对无限深势阱问题中微观粒子的能级和波函数进行可视化分析.这些研究未采用解析法和可视化系统研究无限深势阱问题中微观粒子的能级、波函数和概率密度函数的特征.本文在求解一维无限深势阱问题的基础上,采用解析法和可视化分析两种方法对微观粒子的能级、波函数和概率密度函数特征进行了研究.
1一维无限深势阱解析法分析
1.1一维无限深势阱求解
对于一维无限深势阱[11],势能空间分布如图1所示,即
对于一维无限深势阱问题,可以不求解复杂的薛定谔方程,而直接以图1所示问题为基础,通过坐标轴的平移变换直接得出微观粒子的能级和波函数, 能够避免求解复杂的薛定谔方程,有助于学生理解量子力学问题.若一维无限深势阱宽度为L,且是通过图1问题坐标轴平移h得到的（左移为负,右移为正）,则微观粒子的能级和波函数的表达式为
1.2微观粒子波函数和概率密度函数的特征
以图1所示一维无限深势阱为例,在n取3时,探讨微观粒子波函数和概率密度函数的特征.
在n等于3时,|x|≤a空间内微观粒子的波函数为
令3等于0,解的x等于-a,-a/3,a/3,a,波函数曲线与x轴有四个交点,分别为(-a,0)、(-a/3,0)、(a/3,0)、(a,0).
对式(15)求导,得
2一维无限深势阱可视化分析
2.1不同势阱条件下微观粒子能级、波函数和概率密度函数可视化
根据式(15)、式(21)、式(23)、式(25)绘制出四种不同势阱条件下的微观粒子的波函数,如图4所示.从图4可以看出,图4(b)中的波函数可以通过图4(a)周期减小到原来的1/2得出；图4(c)中的波函数可以通过图4(a)振幅增加倍,周期减小到原来的1/2来得出；图4(d)中的波函数可以通过图4(a)向右平移半个势阱宽度得出.
根据式(18)、式(22)、式(24)、式(26)绘制出四种不同势阱条件下的微观粒子的概率密度函数,如图5所示.从图5可以看出,图5(b)中的概率密度函数可以通过图5(a)周期减小到原来的1/2得出；图5(c)中的概率密度函数可以通过图5(a)振幅增加2倍,周期减小到原来的1/2来得出；图5(d)中的概率密度函数可以通过图5(a)向右平移半个势阱宽度得出.
2.2微观粒子波函数和概率密度函数的特征可视化
从图4、图5可以看出,当量子数n为3时,微观粒子的波函数和概率密度函数曲线与x轴有n+1(4)个交点,波函数具有n(3)个极值,概率密度函数具有2n-1(5)个极值.在图1所示的势阱条件下,微观粒子的波函数和概率密度函数曲线与交点坐标分别为(-a,0)、(-a/3,0)、(a/3,0)、(a,0)；微观粒子的波函数在(-2a/3,1/)、(2a/3,
1/)取得极大值,在(0,-1/)取极小值；微观粒子概率密度函数在(-2a/3,1/a)、(0,1/a)、(2a/3,
1/a)取得极大值,在(-a/3,0)、(a/3,0)取得极小值.
通过可视化后的图像分析,能够形象的理解一维无限深势阱中微观粒子的能级、波函数和概率密度函数及其特征,有助于增强学生的学习兴趣,培养学生分析和解决问题的能力,提高量子力学课程的教学质量.
3结论
针对一维无限深势阱问题,采用坐标轴的平移变换直接得出微观粒子的能级和波函数,能够避免求解复杂的薛定谔方程,有助于学生理解量子力学问题.在一维无限深势阱中,微观粒子的能级与量子数n的平方成正比,与势阱宽度的平方成反比；随着势阱宽度增加,微观粒子体系能量减小,各能级之间的能量间隔减小；微观粒子的波函数和概率密度函数曲线与x轴有n+1个交点,波函数具有n个极值,概率密度函数具有2n-1个极值.
参考文献：
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[2]符立亚,胡照文,任华荪,等.一维无限深势阱的扩展探讨[J].大学物理,2010,29(8):36-38.
[3]王党朝,张小安,刘紫玉,等.一维无限深势阱模型的进一步讨论[J].咸阳师范学院学报,2010,25(6):20-22.
[4]张小伟,赵华,郑勇.量子力学教学中关于无限深势阱问题的处理[J].黔南民族师范学院学报,2015,35(4):16-19.
[5]刘登云.一维无限深势阱中粒子的定态波函数的展开问题[J].山西师范大学学报:自然科学版,2000,14(2):30-35.
[6]贾晶.一维无限深势阱的波函数[J].晋中学院学报,2014,31(3):7-11.
[7]门福殿,李苏银.动量表象中一维无限深势阱有关问题的分析与讨论[J].物理通报,2015(3):23-25.
[8]杨秀会.在动态表象中求解一维无限深势阱问题[J].广西物理,2007,28(4):51-52.
[9]张春国,张迪,苏艳丽.量子力学中无限深势阱问题的可视化研究[J].运城学院学报,2014,32(5):58-63.
[10]夏吾吉,张林.量子力学中无限深势阱问题的教学研究[J].大学物理,2015,34(2):35-39.
[11]周世勋.量子力学教程[M].高等教育出版社,2008:26-28.
（责任编辑：李堆淑）
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