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数学篇：《勾股定理》教学案例和评析
执教者：哈尔滨市第四十九中学
张宏伟
评析者：哈尔滨市香坊区教师进修学校 李 杰 于妍秋
（此课为全国2015生命化教育“大问题”教学研讨会观摩课.）
【教学设计】
《勾股定理》选自人教版义务教育课程标准实验教科书（五·四学制）《数学》八年级下册第24章第1节第1课时.下面我将从内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教学过程设计四个方面,阐述我这节课的设计思路．
一、内容和内容解析
1.内容
勾股定理的探索及简单应用.
2.内容解析
勾股定理是初等几何中最重要的定理之一.它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系,是直角三角形的一条重要性质.它可以用来解决许多直角三角形中的计算问题,是解直角三角形的主要依据之一.勾股定理把形和数密切联系在一起,在数学基础理论中占有重要的地位,不仅是平面几何中的重要定理,而且是三角学、解析几何学、微积分学等的理论基础,在生产生活和其他自然科学中也有广泛应用.
对勾股定理的探究从特殊的等腰直角三角形入手,再到一般的直角三角形,体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法.证明勾股定理的关键是通过面积的割补,利用等面积法来建立等量关系,从中发现直角三角形三条边的关系.
我国对勾股定理的研究早于其他国家,通过我国古代和国外勾股定理的研究成就介绍,培养学生的自信心,激发学生探究的.
基于以上分析,确定本节课的教学重点：用拼图的方法探索勾股定理.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能够运用面积法探索直角三角形三边的数量关系；
（2）经历探索勾股定理的过程,感悟面积割补法的运用,体验从特殊到一般的探究过程和研究方法、转化的思想及数形结合的思想方法；
（3）简单应用勾股定理,已知直角三角形的两边,求第三边.
2.目标解析
前两个目标的达成是交融在一起的.由特殊的腰长为1的等腰直角三角形三边关系的探究到两条直角边不相等的直角三角形三边关系的探究,是特殊到一般的探究过程,能运用已知数据和斜边c分别表示同一图形的面积,在探索的过程中,体会特殊到一般、具体到抽象的研究过程,在利用面积法拼图的过程中感悟面积割补法的运用及数形结合的思想.
目标（3）须在得出勾股定理后,在对定理的进一步理解中达成.
三、教学问题诊断分析
学生运用面积割补法解决“等腰直角三角形已知直角边求斜边的长”较为顺利,但在解决“直角边分别为1和2,求斜边的长”时,一定会出现困难,有必要利用合作学习来解决问题,引导学生寻找建立三边关系的有效途径,充分体会等面积法的应用,从而为探究三边分别为a、b、c的直角三角形的三边关系奠定知识和方法基础.
本节课的教学难点是：探索直角边分别为1和2的直角三角形的三条边之间的关系.
四、教学过程设计
环节一：创设情境
教学内容：回顾曾经研究的直角三角形具有哪些性质,还想了解它的哪些方面.今天我们将专门研究直角三角形的三条边具有怎样的数量关系,这在古代是个很难的问题,几千年以前我国人民就对三边关系有了一定的研究,三国时期赵爽发现了三边的数量关系,古希腊数学家毕达哥拉斯也有所发现,并将其称为毕达哥拉斯定理,而我国学者将三边的数量关系称为勾股定理.从古至今,勾股定理吸引广大数学爱好者的不断探索,大科学家爱因斯坦、美国总统加菲尔德也加入了研究的行列,大家想不想研究斜边与这两个直角边究竟有怎样的数量关系呢？
设计意图：教师提出问题,激发学生的学习动机,使之产生进一步探究新知的.
环节二：探求新知
教学内容：
问题1已知一个直角边分别为1的三角形,你能利用所学知识求出斜边c的长吗？
课堂活动：学生利用等面积法拼出相应的图形,并列出相应的方程.
学生汇报展示成果如下：
对于情况1,应引导学生说明等腰直角三角形常作高线,并利用不同的面积表示法列方程.
对于情况4,不会有太多学生想到,教师要及时给予表扬,同时指出等腰直角三角形与正方形两个图形之间的密切联系,列方程还是依托等面积法.
回顾问题的解决过程,思考这样两个问题：1.你的方案是怎么想到的？2.你是如何列出这些等量关系的？
设计意图：从特殊图形开始研究问题,初步体会等面积法,引导学生体会通过一个图形的两种不同的面积表示法列方程,从而解决问题的过程,为探究二奠定方法基础.
问题2已知一个直角三角形的两条直角边长分别是1、2,你能找出直角边1、2和斜边c的关系吗？
课堂活动：大部分学生模仿问题1的解决过程拼出如下方案,但找不到解决问题的办法.
教师追问：1.说说你是怎么想的,这样能求出斜边c的长吗？2.问题出在哪呢？
学生经过讨论发现,不能用含有斜边c的式子表示拼成的图形面积.
老师再次追问：让我们回顾问题1的解决过程,为什么这些拼成的图形面积能够用含有c的式子表示,这种方法能给解决问题2带来启示吗？再给大家一些时间,看看有没有解决办法.
经过师生交流,学生汇报成果如下：
情况1：情况2：
教师及时展示两位学生的做法,分析每一种做法从问题1中受到了哪些启发？为什么是正方形？你是怎么想到这种做法的？灵感来自哪里？等式两边都表示了哪个图形的面积？
对于情况1,学生受到问题1的方案4启发,拼成正方形,大正方形面积可用已知数1和2表示,同时小正方形的面积可用含有c的式子表示.
对于情况2,大正方形的面积可用c2表示,小正方形的面积可用（2-1）2来表示,从而列出等量关系,求出c值.
回顾问题2的解决过程,请大家思考：在拼成的各种方案中,列出的这些等量关系的依据有什么共同特点吗？
设计意图：1.体会面积割补的思想和方法,让学生经历从特殊到一般的探究过程；2.将新问题转化为已经解决的问题来处理,从数和形两个角度观察、思考、对比,从而认识问题的本质.
问题3最后提出一个最具有挑战性的问题,如果将直角边1和2改成a和b,你还能找到a、b和c的关系吗？
课堂活动：学生拼图,教师巡视,并提醒学生方案是否可行,列出的关系式是否正确,最后请两位同学到黑板前整理,讲解解决方案,进而得出结论a2+b2等于c2.
师生用自己的语言概括直角三角形三边的等量关系,得到勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
设计意图：教师通过不断追问,引发学生对拼成的新的特殊图形与原直角三角形相互转化及图形实质的理解,意在让所有学生都能够从中受到启发,分享智慧,提高思维能力.
环节三：简单应用
如果已知b的长为8,c的长为10,求a的值.
这说明a、b、c中,知道其中两个量才能求出第三个量.
环节四：反思总结
教学内容：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,同时也成为了用代数方法解决几何问题的研究典范,在历史的长河中,各国对勾股定理的研究从未停止,方法达几百种,课下大家可以继续研究其他证明方法.一堂课的时间那么短暂,但相信本节课的学习一定会给你留下许多美好回忆,谁能总结本堂课你的收获与体会？
课堂活动：师生共同回顾研究过程,体会从特殊到一般的研究方式,面积的割补法,数形结合的思想.
设计意图：将所学知识纳入到已有的知识结构中,形成新的知识体系.
环节五：布置作业
1.梳理勾股定理的多种证明方法；
2.阅读教材,阐述教材中勾股定理的得出与课堂上的探究有何不同？
【评析】
从凌乱到灵动——实现真正意义的学生学习
勾股定理在历史上曾经是世界难题,而今天我们要用一节课的时间研究它,所以我们不能完全按照科学家的研究思路进行研究.数学界前辈张奠宙老先生曾经说过,数学有三种形态：原始形态、学术形态和教育形态.原始形态是数学家创造时的形态,弯弯曲曲的；学术形态是科学家表达自己成果的形态,板起面孔的；而教育形态则是用学生容易接受的方式整理的,又有利于学生发展的形态.张老师这节课就是采用教育形态来展开教学的,突出表现在以下几点：
一、问题让学习发生
本节课张老师在课前先带领学生做了热身活动,待学生的士气被激发起来后,课堂上的系列问题探究正式开始.
张老师设置的一系列问题是以从特殊到一般的方式来研究直角三角形的三边关系.这些问题具备这样几个特点：第一个问题是本节课的课眼,是本节课教学的主线,直接触及数学的本质,并贯穿本节课的始终；第二个问题具有挑战性,有一定的开放度和自由度,给学生独立思考、合作学习留下了充分的探索空间；第三个问题能激发学生的兴奋度,学生被这个非常有意思的“伟大事物”深深吸引,全身心投入到问题的研究中来.
二、合作让学习实现
本节课展开了三次小组合作学习.我们采取抽样调查的方式来观察课堂中合作学习的情况,最后再将每个人的观察结果汇总,通过分析看出：
第一,合作学习的内容恰当.由于教师提出的问题具有一定挑战性、探究性、发散性、矛盾性,所以学生独立解决起来十分困难,其中既有本节课的难点,又有学生在质疑中提出的问题.并且拼图法及面积的割补思想也不是学生常规解决数学问题的思路,需要学生之间的合作.所以,本节课教师召集学生开展合作学习的时机非常恰当.
第二,合作学习的要求明确.每次合作学习前教师都明确提出合作学习的内容和目标,让学生知道任务之后,组织组员有序地开展讨论、交流,动手操作、探究.这样做避免了学生乱说话和小组合作学习的盲目性,充分体现了小组合作学习的实效性,也使那些胆怯、被动的学困生积极参与到学习中来,充分体现了自身的价值.
第三,灵活多样的合作方式取得了非常好的合作效果.每次合作之前,张老师都是先让学生独立思考,再组织学生合作交流.学生思考后产生合作的,使得每位学生都能说出自己的想法,都能对问题的解决贡献自己的一份力量,避免了把合作变成优生讲、差生听的假合作.另外,当学生合作解决仍有困难时,张老师采取了合作—交流—再合作的形式,有效提高了合作的效率.
第四,教师深入小组参与合作.在小组合作学习活动期间,教师通过巡视,对活动中出现的问题及时指导,使合作的效果更好.
第五,学生深度参与.合作学习是否落到实处,关键要看组员的参与状况、互助、互学情况、交互的质量,这些都决定着合作学习的效果.
本节课的三次合作学习,学生的参与深度是有差异的.第一次合作学习的效果略差,而第三次合作学习虽然没有给学生独立思考的时间,但是效果却是最好的.看来合作学习建立在每个个体有一定的想法的前提下,效果才会更好.
三、放手让学习深入
实现真正意义上的学生学习,教师应做到真正的放手,把学习权还给学生.这一点是教师最难做到的.究其原因,教师有“三怕”：一怕学生答不上,冷场；二怕时间不够,压堂；三怕出现教师预想不到的生成.张老师的这节课真正做到了放手,做到了：
等待——给学生独立思考留出时间；
关注——给学生合作交流营造空间；
倾听——给学生阐述理由创造机会；
追问——给学生质疑争辩、发现问题、提出问题搭设平台；
评价——给不同层次的学生鼓足勇气.
正如日本教育学者佐藤学所做的比喻,好的教学就如接住学生“投过来的球”,即“接住”每个学生的发言,并能与那些倾心“投球”的学生的想法产生共振,不论学生向你抛出一个精美的彩球、棘手的刺球、偏离轨道的歪球,或是一闪即逝的擦边球,教师都应恰当地接住.这节课张老师在一些问题的解决中,设置了一些追问,但笔者认为,在问题2这一难点问题的突破上,教师的迂回还不够,若教师再多一些层层深入的追问,引发学生之间的质疑、争辩,从而产生数学思维层面的深度对话,让更多的学生体会到解决问题的关键所在,效果会更好.
总之,我们期待的课堂应该让学生真兴奋,走向真研究,在课堂由凌乱到灵动的过程中,让学生独处、倾听、合作、互动、质疑、碰撞,体会再创造的乐趣——创建一个真正的学习共同体空间,这样,真正意义的学生学习就实现了！
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