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在知识形成过程中渗透数形结合思想
在知识形成过程中渗透数形结合思想
摘 要：新课程标准对数学思想的教学有了明确要求.数形结合思想作为数学最重要的基本思想之一,不仅贯穿初中教材内容,也将影响高中阶段数学的学习.数学知识的形成过程往往也是数学思想方法的发生、发展的过程.所以在概念形成的过程中,结论、公式、法则或定理推导过程都是渗透数学思想的时机.
关键词：数学思想方法；数形结合思想；概念；定理
作者简介：胡晓楠,广东省深圳市福田区翰林实验学校.
中图分类号：G623.5
文献标识码：A
文章编号：1671-0568（2018）01-0108-02
《全日制义务教育数学课程标准》对数学教学内容的设计方面提出“课程内容的呈现不仅要包含有数学结果,也要有数学结果形成的过程及其所蕴含的数学思想方法.”这就告诉我们,在教学过程中不仅要重视学生基础知识和基本技能的获得,同时也要在学生学习的过程中注重数学思想方法的渗透.数形结合思想方法是中学数学教学中重要的数学思想方法之一.在概念形成的过程,结论或定理推导过程都是渗透数学思想的时机.
一、在概念的学习过程中渗透数学
数学概念是显示生活中数量关系和空间形式机器本质属性在思维中的反映,概念的教学绝不只是简单的“一个定义,三条注意”,而是要积极引导学生感受暗藏在概念形成过程中的思想.在初中阶段,最开始渗透数形结合思想是从数轴这一概念开始的,任意一个有理数都能在数轴上找到与之对应的点；由数轴上的有理数点读出它对应的有理数.在这块知识的处理上,笔者是加强画数轴的训练,点与数相对应的练习.在熟悉之后,再提出数形结合的思想,让学生感受简单的数形结合是怎么一回事.
再次,渗透数形结合思想是相反数的概念的学习,从数轴上,看图识相反数,能让学生更直观地理解相反数.有理数的大小的比较,加强训练了看数轴上,认识数轴上的点对应的有理数从左到右,由小变大,为后面的直角坐标系的学习打下基础,因为函数的增减性的理解通过借助直角坐标系上的图像能更好地理解,那么学生就要学会从左到右的看图像.于是在这里再次提出数形结合的思想方法.在绝对值概念的理解上,我们依然借助了数轴,从点与原点之间的距离.如：首先让每个学生先画数轴,然后看数轴,解决问题（1）表示-2的点与原点之间的距离是多少？（2）表示2的点与原点之间的距离是多少？（3）3呢？-3呢？（4）到原点的距离为4的点所表示的有理数是什么？（如下图所示,利用数轴,找出对应的点,并说出它所代表的数）.
在绝对值的概念理解开始就借助数轴,在后面相应的练习,笔者依然要求遇到相关的题目,无论简单与否,都必须画数轴（可以是草图）解决问题,这种强制性的要求,是想培养学生借助图形解决问题的习惯,也是培养应用数形结合思想的意识.
很多人认为在这里提出数形结合思想太早,特别是对于一个初一的新生而言.但笔者觉得数学思维能力的培养方面是无形的,而数形结合思想的应用应该在任何知识点的学习过程中不断反复地渗透.数形结合思想方法的教学需要从简单入手.那么从数轴这里开始渗透,不断强化,慢慢的,学生就会理解.
在2012年,北师大版的教材改版后,在概念的理解上更是重视数形结合思想的渗透.又比如,八年级上册方差的概念,教材的处理是通过三个图形的对比,以图形的形式直观地让学生感受数据离散的程度,再引入方差和标准差的概念.用方差或标准差来刻画一组数据的离散程度.借助“形”的直观来研究“数”的特征,在这里渗透数形结合思想.
在甲、丙两厂中,你认为哪个厂鸡腿质量更符合要求？为什么？在这个情景中,学生容易发现甲和丙的平均数和极差一样.由认知矛盾引出方差和标准差.在这块知识点的处理上,笔者之前就是觉得重点在方差的计算上.后来当站在渗透数形结合思想的角度设计这节课内容时,笔者增加了多几组数据的离散图让学生判断方差,反复渗透数形结合思想.
然后,以一组最简单的数据：1,2,3,4,5,求方差,并画出离散图.再把数据变成11,12,13,14,15,再次求方差并画图.进行两组数据的方差和图像进行对比.学生很快就发现离散图形状不发生改变,只是位置向上平移了10个单位,方差大小也不变.通过在对方差概念的理解中,我们借助图像,反复渗透数形结合思想,加强学生对方差本质的理解.
在概念的教学过程,我们要引导学生发现隐含在知识内的数学思想.在教材中,平面直角坐标系、一次函数、反比例函数、二次函数、三角函数、圆与圆的位置关系等概念也都隐含数形结合的思想,其教学过程都是渗透数形结合思想的时机.
二、在定理（性质或者公式、法则）的学习过程中渗透
定理（性质或者公式、法则）的教学我们都遵循“过程教学原则”.在新课改后,我们更是重视命题是如何提出的？然后如何证明？证明后如何应用？这一思维过程都要充分去展现,我们会启发学生去感受、体验、猜想、分析证明,那这个过程一定会结合着数学思想的渗透运用.比如：七年级下册的完全平方公式探索,情境设计从用代数式表示正方形面积的表示开始.（如下图所示）
学生会用不同的代数式表示正方形的面积,然后通过交流,讨论,他们会发现恒等式,也就是（a+b）2等于a2+2ab+b2和（a-b）2等于a2-2ab+b2.在这个探索过程中,再次体现数形结合的思想.
又例如：八年级上册勾股定理的探索.探究活动1：观察下边两幅图：填表（每个小正方形的面积为单位1）：
猜想：A、B、C三个正方形面积之间的关系？
借助图形,通过面积的计算,学生很容易猜想三个图形面积之间的关系：
有了猜想,需要验证.接着借助图形验证勾股定理.活动1：我们利用四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形.
由面积计算得：c2等于4·■ab+（b-a）2
展开得：c2等于2ab+b2-2ab+a2
化简得：c2等于a2+b2
这里仅是其中一个证明勾股定理的探索,从猜想到验证的过程,处处蕴含着数形结合思想方法.我们运用数形结合思想揭示直角三角形三边长之间的关系.其实勾股定理的整一个章节的学习,从探索到应用,几乎每一处的教学都能渗透数形结合思想方法,强化数形结合思想的运用.
因为数形结合思想是抽象与形象结合的,要学生对它的理解甚至应用,需要一个较长的过程.所以我们在平时的教学中以螺旋式不断的渗透数形结合的思想方法.
数形结合思想是利用图形直观来帮助学生理解题意的,是使得抽象的内容变具体直观.
整个初中的教材,还有很多知识形成的过程可以渗透数形结合思想.在适当的时候提出思想方法,培养学生养成多动手作图的习惯,学会独立在图形里获取信息,形成新的知识,渗透数形结合思想.北师大版教材的设计,无论是内容还是思想方法是一个螺旋式上升的,所以我们需要精心设计教学的各个环节中,要根据学生的年龄特征、学生的认知水平、各阶段的知识特点,逐步渗透、反复渗透数形结合思想.
参考文献：
［１］ 教育部．全日制义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｓ］．北京：北京师范大学出版社,２０１２．
（编辑：张 婕）
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