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基于集合对应语言，理解函数单调性概念教育数学之三

摘要：教学“函数的单调性”时,应从函数的基本概念出发,引导学生将直观粗略的几何图像转化为抽象精细的代数关系；以“集合—对应”语言为抓手,引导学生将复杂的无限模式转化为简单的有限模式,从而充分理解函数单调性的本质.具体可分“分析一次函数f(x)等于kx”“分析二次函数f(x)等于x2”“分析一般函数”“剖析序关系”四个步骤进行.

关键词：教育数学函数单调性“集合—对应”语言

作为中学数学的核心概念之一,函数是描述事物变化过程中数量关系的基本模型,函数的单调性是刻画函数变化规律的重要工具.在高中学习“函数的单调性”时,学生已经有了从家到学校“两点一线”“单调不变”的生活经验以及一次函数、二次函数、反比例函数图像“上升、下降”“单调变化”的数学经验,但是缺乏运用文字、符号语言,精确、细致地描述现象,定义概念的能力.

教育研究与评论中学教育教学/2018年第3期热点透视教育数学认为要“从头脑中找概念”,就是要基于已有的知识和经验,理解新的知识和经验.在高中,函数概念是通过“集合—对应”语言来精细定义的.因此,教学“函数的单调性”时,教师应从函数的基本概念出发,引导学生将直观粗略的几何图像转化为抽象精细的代数关系；以“集合—对应”语言为抓手,引导学生将复杂的无限模式转化为简单的有限模式,从而充分理解函数单调性的本质.

一、教材分析：从物理操作到心理操作

人教版高中数学教材先给出一次函数f(x)等于x和二次函数f(x)等于x2的图像,引导学生发现“上升”“下降”的特征；再列出二次函数f(x)等于x2的对应值表,引导学生明确“随着x的增大,f(x)增大或减小”；然后利用二次函数f(x)等于x2的解析式,引导学生得到“当x1＜x2时,f(x1)＜f(x2)或f(x1)>f(x2)”的描述,从而引出函数单调性的定义.

上述教材设计大体上是可取的,但是也具有一定的局限性.具体而言,通过粗略观察宏观图像和具体计算几个数值,发现函数变化规律,判断函数的性质,属于直观感知和归纳推理,其结论不一定可靠.此时,学生还处于物理操作阶段,没有进入心理操作阶段,只是经验性地认识了函数的单调性,没有思辨性地领会到函数的本质对单调性的形成的基础重要性.因此,需要从对解析式的精细分析中,跨越直观走向抽象,跨越具体走向一般.

二、教学改进：基于“集合—对应”语言

(一)分析一次函数f(x)等于kx

两点确定一条直线,即可以用有限个点来表示无限个点,故探求一次函数f(x)等于kx的变化规律只需取两点.从“集合—对应”语言出发,任取x轴上的两点x1、x2,x1→f(x1)与x2→f(x2)均是一一对应,两点A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))可以确定一条直线,即这两点的运动轨迹：直线f(x)等于kx.对于斜率kAB等于f(x2)-f(x1)x2-x1,若kAB＞0,则当x1＜x2时,f(x1)＜f(x2),即因变量与其对应的自变量变化趋势一致,此时函数为增函数；减函数的情况是类似的.

因此,对于直线模型,欲判断其单调性,只需任取x1、x2∈R：若当x1＜x2时,f(x1)＜f(x2),则一次函数为增函数；若当x1＜x2时,f(x1)＞f(x2),则一次函数为减函数.

(二)分析二次函数f(x)等于x2

二次函数f(x)等于x2不再是简单的直线,而是复杂的曲线.从“集合—对应”语言出发,对于x轴上的任意两点x1、x2,经过一一对应可以得到f(x1)等于x21、f(x2)等于x22两个相应的函数值,从而得到两点A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2)),这两点可以确定一条直线.当两点x1、x2取遍x轴上的所有值时,两点A、B可以跑遍整条曲线,直线AB可以取遍曲线的所有割线和切线（当两点重合时,即为切线）.

无论是割线,还是切线,都可以帮助我们从直线的性状来了解曲线的性状,即可以把对二次函数单调性的探究化归到对直线性状的探究.对于斜率kAB等于f(x2)-f(x1)x2-x1,当kAB＜0时,若x1＜x2,则f(x1)＞f(x2),说明直线的变化趋势在此区间上一直都是向下的,也就表明二次函数f(x)等于x2在此区间上的变化趋势是单调递减的；单调递增的情况是类似的.

这样,就得到了二次函数单调性的判断法：对任意x1、x2∈(-∞,0),若x1＜x2,则f(x1)＞f(x2),所以f(x)等于x2在此区间上单调递减；对任意x1、x2∈(0,+∞),若x1＜x2,则f(x1)＜f(x2),所以f(x)等于x2在此区间上单调递增.

(三)分析一般函数

可以发现,不论是比较简单的直线模型,还是较为复杂的曲线模型,都可以从“集合-对应”语言出发,通过分析两点所确定的直线的变化规律来探究函数的单调性.基于此,不难想到利用同样的方法探究一般函数模型的单调性,即从直线的角度认识曲线.

以图1所示函数的单调性探究为例,具体步骤如下：（1）找自变量的代表.因为自变量在水平直线上变动,故可用两点来代替,如图2所示.（2）从自变量到因变量作对应.给定x轴上的两个值x1、x2,对应之后得到与之相对应的函数值f(x1)与f(x2),如图3所示.（3）作直线.过两点A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))作直线,如图4所示.（4）利用直线的性状研究曲线的性态.

图1图2

图3图4

函数的单调性其实说的是自变量的变化与因变量的变化是否同步的问题.自变量在水平轴上变化,对一系列x1＜x2＜x3＜…＜xn,均可用任意两点xi<xj的变化来描述,其几何依据十分明显,两点确定一条直线,故只要任取两个点的变化态势,即可描述这一组数的变化态势.上述过程中有两次对应：一是水平轴上的点与曲线上的点的对应,二是曲线上的点与竖直轴上的点的对应.竖直轴上的点是直线上的点,当然可以用两个点来代替,即若有f(x1)＜f(x2)＜f(x3)＜…＜f(xn),可以抽象成f(xi)<f(xj).

现在的关键是,这样对应过去之后,自变量与因变量之间的变化步调,是否真的反映了曲线的变化态势？如果反映了,就说明能用这种变化步调来刻画单调性；如果不反映,就说明这种思考方式不正确.由上面的分析可知,自变量和因变量的变化步调可以反映一次函数、二次函数的变化态势.而对一般函数曲线而言,可以借助动态几何工具,比如超级画板、网络画板,分别让两点在上升的、下降的曲线上运动,发现自变量和因变量的变化步调的确可以反映相应函数曲线的变化态势.实际上,直线和曲线之间有辩证关系,比如在数学上可以通过折线（切线）折出三种圆锥曲线（包络）,在生活中可以用方砖砌出圆形的建筑；而辩证处理直线和曲线就是微积分的精神所在——其中的道理不用细致讲述,只要让学生大致明了.

经过这样的处理,如果要定义函数在某一区间上的单调性,进行两次“简化”即可.以定义单调增函数为例,在区间(a,b)上对自变量x取定一系列值x1＜x2＜ x3＜…＜xn（把区间离散化,用数列{xn}表示）,这个数列在一条直线上变化,可以简化为模式“对任意x1<x2”；相应的函数值的变化是f(x1)＜f(x2)＜f(x3)＜…＜f(xn)（用数列{f(xn)}表示）,这个数列也在一条直线上变化,也可以简化为模式“f(x1)＜f(x2)”；自变量或因变量单方面的变化不能说明问题,两者结合起来,说明其中有逻辑上的关联,才能说明单调性.这样,单调性的定义就得到了：若在区间(a,b)上,对任意x1<x2,都有f(x1)＜f(x2),则函数f(x)在区间(a,b)上单调递增.

(四)剖析序关系

从更深层次剖析,单调性乃是序关系的体现,故要从“集合—对应—关联”思想入手理解.排序不等式指出,若x1<x2,y1<y2,则有x1y1+x2y2>x2y1+x1y2,变形可得(x1-x2)(y1-y2)>0,即y2-y1x2-x1>0.这就是单调性定义的一种变式表达.因此,函数的单调性同时考虑自变量的序和因变量的序,还考虑两者的关联（对应,内在逻辑）.这些见解的获得,均需要对已有知识进行“重认识”和“再建构”,对头脑中获得的经验进行思辨.

参考文献：

［1］庞雅丽,徐章韬.单调性：从思想到技巧［J］.数学通报,2012(10).

［2］涂荣豹.“教与数学对应”原理的实践——对“函数单调性”教学设计的思考［J］.数学教育学报,2004(11).管理智慧

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