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集合论的新路径
符喜迎
（1．南开大学哲学院,天津300350;2．河南财经政法大学马克思主义学院,河南 郑州 450046)
【摘 要】集合论的概括（抽象）原则说的是,对于任意的性质或条件恰好存在一个由满足这个性质或条件的对象组成的一个集合．康托尔的朴素集合论正是基于这样一条原则建立起来的.对象和集合之间的是“属于”关系,对象和性质之间的是“满足”关系,因而概括（抽象）原则可以用类似于塔斯基T模式的方式表示出来,即集合恰好满足性质的那些对象构成.然而,正是由于这个不加限制的概括原则,20世纪初波特兰·罗素在康托尔的朴素集合论中发现了一个悖论,即我们熟知的罗素悖论.罗素悖论的出现使得人们开始考虑对集合形成原则加以限制．增加新的公理限制集合论的朴素概括原则,这就是公理集合论的发展路径.公理化集合论是一种指向修改概括（抽象）原则拯救朴素集合论的集合论,因而其约束概括原则限制生成集合的任意性,对于维持集合论系统的协调性具有极端重要的意义.然而,随着弗协调思想和技术的发展,人们对待矛盾或不协调的态度和处理方法也在发生相应的改变．包容或容纳矛盾及不协调可以是集合论发展的一种路径选择.朴素集合论是一种不协调的理论,弗协调逻辑是唯一一类能够容纳不协调理论的逻辑类型：因此使用弗协调逻辑构造新的弗协调集合论系统是集合论发展的新路径.
【关键词】公理化；弗协调；概括公理；协调性
【中图分类号】B81 【文献标志码】A
【文章编号】1003-0166(2017)01-0061-07
doi:1 0.3969/j .issn.1003- 0166.2 01 7.01.015
19世纪下半叶,康托尔创立了朴素集合论.数学家们发现,从康托尔的集合论出发可以建立整个数学大厦.因而,集合论成为现代数学的基石.朴素集合论主要由两条原则定义集合：第一是概括（抽象）原则,任意的条件决定一个集合,恰好是由满足这个条件的对象组成：第二是外延原则,集合之间的相等是由集合的元素决定.概括原则的简单和直观有利于朴素集合论早期的发展和推广,但是随后为集合论的发展带来了困扰.
罗素悖论引发的问题和其在集合论上的表现可以认为由两个因素生成：第一,一个无限制的抽象或概括的集合存在原则,允许任意一个条件生成一个集合；第二,允许某种实例的各种逻辑原则将会推导出一切.早在罗素发现悖论之前,布拉里和福蒂以及康托尔就发现了悖论.1897年,布拉里和福蒂发现了大序数悖论,即布拉里一福蒂悖论：1899年,康托尔在他自己的系统中发现了大基数悖论.但是这两个悖论因为涉及复杂的数学运算,所以当时并没有引起人们的强烈关注.罗素悖论则不同,仅仅使用了“元素”“集合”“属于”等集合论的最基本概念,以其简单性和明晰性迅速得到了学界的关注,动摇了朴素集合论的基础.人们开始怀疑朴素集合论的正当性,为数学的发展寻找新的出路.
在经典逻辑中,协调性(consistency)和足道性(non-triviality)被认为是不可分割的,这是爆炸性(explosion)的逻辑结果.当时普遍认为,不协调的理论一定是不足道的,协调性是一个理论好坏的主要标准：因此,维持集合论的协调性,消除集合论中的矛盾成为努力的主要方向.有的学者认为是朴素集合论的集合形成原则出现了问题．因此修改不加限制的集合形成规则成为拯救集合论的主要方向.主要代表是罗素类型论对生成集合论的谓词进行分成的限制,以及策梅洛的公理化集合论对概括原则的约束.另外,还有冯·诺依曼一贝纳斯一哥德尔集合论（以下简称NBG集合论）,蒯因的新基础集合论（简称NF集合论）和数理逻辑集合论（简称ML集合论）,都是维持集合论的逻辑基础而修改集合形成原则.公理化集合论虽然成功避免了集合论悖论,保持了集合论的协调性,但是改变了在康托尔的初衷,使概括原则变得荒谬.彻底逃离这个劫难的方式即弗协调的方式,认为没有必要解决基础悖论,它们可以作为数学家和对数学基础感兴趣的哲学家的一个理性部分.如果基础的后承关系是弗协调的而不是经典的,那么能够实现这种理性的调整.矛盾在这种情况下依然存在,但是被隔离起来不能扩散到整个系统.我们可以找到其他类型的逻辑来容纳概括原则,并且保持集合论系统的足道性.
公理集合论的理论前提之一是维护集合论的协调性,因为在经典逻辑的框架中,协调性等同于既能够容纳集合论系统中的矛盾,同时可以保证集合论系统的足道性.
20世纪以来,弗协调思想和技术的发展为这一构想提供了理论和技术上的可行性.本文选择弗协调逻辑LP构造弗协调集合论系统．从理论和基数的双重视角重新审视集合论发展的新趋势.
1悖论逻辑LP
任何理论的研究必定涉及嵌入其中的逻辑基础我们选择的弗协调逻辑LP,弗协调集合论的研究也不例外.为什么选择LP为基础逻辑构造集合论系统？弗协调逻辑是爆炸性不成立的逻辑,有很多种弗协调逻辑,但是很多都不适合于处理朴素集合论.因为,朴素概括原则是如此的强大以至于它只能被弱逻辑所容纳.
1.2 LP联结词的语义解释如下
1.8评论
经典逻辑错在假定了没有句子可以既真又假,我们希望更正这个假设.如果一个句子是既真又假的我们称之为悖论性的(B)；如果只真不假,我们称之为仅为真(T)；如果只假不真,我们称之为仅为假(B).
关于悖论逻辑最为明显的事情是它迫使我们放弃一般情况下不会怀疑的推导规则.例如下面的规则
2.6评论
上一个定理的推导使用x∈x替换概括公理模式中的P（x）,类似于罗素悖论的推导方式.概括公理模式是不协调的.这样一来,如果我们把概括公理模式添加到以经典逻辑为基础的集合论中,将会得到一个不足道的理论.换句话说,经典逻辑与朴素概括原则是不相容的.
2.7定义
一个理论系统是不足道的,当且仅当,这个理论的语言下的所有公式都是系统的定理.否则,是足道的.
2.8定理(Brady 1989)
带朴素概括原则的集合论是足道的.
证明：详细证明参见参考文献.
2.9评论
一旦不协调被局部接受．一个有用的逻辑系统（理解为反映某些给定的理论或实际方面的约束条件的推导性的形式主义）的主要价值就是区分可接受的推理与不可接受的推理；因此,对一个逻辑系统最低要求是系统划分命题为两个类（可推导的与不可推导的）,或者换句话说是足道性；因此,其实选择一个值得研究的理论系统的根本标准应该是足道性而不是协调性.
2.10定义爆炸性
2.11评论
对于构造弗协调集合论来说的一个挑战是,避免矛盾的理论发生爆炸而推出一切.这样一来,他们必须放弃爆炸性来弱化逻辑机制,以便有能力从这些理论中推导出合理的结论,同时提出一个合法的逻辑系统.
3形式结论
关于朴素集合论的一个问题是,是否它还有其他的模型.通过与经典集合论ZF的比较,我们将会证明它确实有其他模型.除了基础公理之外,我们接下来将会证明,每一个ZF公理是N的一个定理,但是每一个ZF的经典后承并非都是N的一个定理.首先,我们需要一些引理.
3.7引理
上面的关联矩阵给出了N的一个LP模型.
证明：因为涵盖所有的经典列向量,根据定理4.5,上面的关联矩阵给出了概括公理模式的一个模型.
等词等于的关联矩阵如下：
4使用LP形式化朴素集合论的缺陷
选择LP嵌入朴素集合论,原因有两个.第一,它是经典谓词逻辑最直接的弗协调扩张,它保留了谓词逻辑的原貌,除了允许句子被赋值既真又假之外.第二,在论域的每一个协调部分,它等同于经典的谓词逻辑.但是,用悖论逻辑形式化朴素集合论存在下面三个问题.
第一,理论的模型是有穷的,所以无穷公理不
能在直观上表达无穷,但是,有穷模型在某种意义上能够表达无穷.原因有三个：第一,在梅尔(Meyer)和莫滕森(Mortensen)弗协调有穷算术模型的意义上,我们使用的模型是“病态的”,这些模型不是典范的而纯粹是为了证明定理而构造的.第二,基于悖论的逻辑的朴素集合论具有有穷模型的事实使严格有穷的足道性证明成为可能.第三,有穷模型是如此的“粗糙”以至于它不能区分更大模型中的不同对象.例如,罗素集和全集在单元素模型中是相同的,但是它们在更大的模型中是不同的.这是因为,理论的逻辑是弗协调的,具有不相容性质的集合在一个带有罗素集的模型中是相同的,这个模型相当于梅尔(Meyer)和莫滕森(Mortensen)给出的有穷的算术模型.例如,在一个只包含O和1两个元素的模型中,用O和1分别表示每一个偶数和奇数.公式0等于0是既真又假的,因为并非每一个偶数都等于其他每一个偶数.另一方面,0等于1是仅为假的,因为没有一个偶数等于任一奇数.因为这是相干算术的一个足道的模型,我们有相干算术足道性的一个有穷证明.类似地,我们有悖论逻辑中朴 素集合论的足道性的一个有穷证明.
5结论
研究不协调理论通常有三种路径.第一是承认矛盾为真的悖论逻辑的路径,由此在出现矛盾的情况下能够得到一个足道的理论：第二是达·科斯塔的谓词分层的方式,添加一个弱于经典逻辑否定的弗协调否定,扩展到一阶谓词演算并以此为基础建立弗协调集合论；第三是相干逻辑的路径,不相干的矛盾不会推出一切.
每一个逻辑提供了一种工具和视角．刻画一个领域或某种特定的现象.在某种意义上,每一个逻辑在一个语用环境中提供了一种工具.从哲学的观点来看,如同从一个技术的观点来看,弗协调逻辑导致了各种各样的问题.选择LP作为刻画朴素集合论的基础逻辑.第一是因为容易构造模型,第二是因为LP是经典谓词逻辑最自然的弗协调扩张,除了允许句子可以既真又假之外,它保留了经典谓词逻辑的原貌.特别是在论域的每一个协调部分,LP等同于经典的谓词演算.
事实上,如果一个理论的基础逻辑是经典的,那么这个理论是不足道的当且仅当它是不协调的.既然这样,按照严格经典理论的路径,一个矛盾的理论不会保留任何科学的兴趣.通常,我们试图改变不协调的理论,不相容的理论和矛盾的证据到协调的理论.在保持协调的经典逻辑中,一个人将会失去此类理论一些特征性质.否则,如果我们放弃经典逻辑,我们能够保存一个理论的某些特征.在某种意义上,一些种类的不协调能在元理论和认识论上解决.当我们面对科学内部的一个矛盾时,我们发现我们自己直面一个认识论的态度和一个元理论的选择.主流的方法论行为普遍消除了出现在科学分支上的认知不协调,维护经典逻辑和协调性的价值,具有认识论和本体论的意义而且也有文化上的融合.从一个数学的观点来看,经典逻辑的领域（包括集合论,数学和应用逻辑）很明确.应该清楚,弗协调逻辑不是一种挑战或破坏经典逻辑的途径.每一个逻辑多有它自己的用处,为了发展一个学科,必须自由选择分析方法.
发展论文范文结:
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