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平面概念：基于相似性，重构数学史
沈中宇1,汪晓勤2
（1．华东师范大学数学系,200241；2．华东师范大学教师教育学院,200062）
摘 要：平面概念的常规教学设计难以让学生理解平面概念的来源、画法的道理和公理的意义.基于历史相似性,从HPM的视角来设计和实施平面概念的教学：从学生对平面概念的理解出发,与历史上数学家对平面概念的理解相呼应,让学生更深刻地理解平面概念与公理.课后反馈表明,这样的教学体现了“知识之谐”“探究之乐”“文化之魅”“德育之效”.
关键词：HPM历史相似性 平面概念教学设计
“平面”是人教版高中数学教材必修2第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的开篇内容.教材中从现实生活中的一些物体引入,强调平面的无限延展性以及平面的画法,接着仍然从生活经验出发,归纳出平面的三大公理.这样的设计突出了平面的生活气息.此外,受希尔伯特几何公理体系的影响,平面概念是作为不加定义的原始概念出现的.于是,教师通常简单地认为这些概念很基本,学生易于理解.但是,在教学实践中存在以下问题：平面是数学中抽象的概念,它是如何从现实生活中逐渐抽象而来的呢？平面为什么画成平行四边形？平面的三大公理从何而来,即为何将平面的这三个性质作为公理？
有研究表明,大学非数学专业毕业的成年人在理解平面的概念上存在问题,他们对平面的观点存在历史相似性.因此,我们可以从HPM的视角来设计和实施平面概念的教学,从学生对平面概念的理解出发,与历史上数学家对平面概念的理解相呼应,让学生更深刻地理解平面概念与公理.为此,我们拟定本节课的教学目标如下：(1)理解平面的概念,会用三种语言表示平面以及点、线、面的关系,理解平面的三大公理及其推论,会在简单的情况下应用；(2)经历平面概念与公理的产生过程,培养抽象、观察归纳与类比猜想的能力；(3)认识到“数学是演进的”,体会“做数学”的感觉,感悟数学文化.
一、历史材料及其运用
平面的概念与公理经历了漫长的发展过程.从古希腊时期开始,就不断有数学家提出平面的定义；一直到20世纪中叶,平面作为不加定义的概念以及平面的三大公理才普遍出现于几何教科书中.本节课可以根据平面概念的发展脉络,利用重构的方式将相关的历史素材融入教学之中.
(一)古希腊时期的平面定义
早在公元前5世纪,古希腊哲学家巴门尼德(Parmenides)对平面概念已经作过刻画.根据普罗克拉斯( Proclus,412～485)的记载,巴门尼德将平面定义为“如果一个二维对象是直的表面,那么它就是一个平面,直线可在任意方向与之相合”.这里,巴门尼德将“直”作为平面的本质特征,并强调平面是二维的,是没有厚度的.
公元前3世纪,欧几里得( Euclid)并未沿用巴门尼德的定义,他将平面定义为“与其上直线一样平放着的面”.这里,欧几里得强调了用直线来刻画平面.
约l世纪,古希腊数学家海伦( Heron)给出了平面的新定义：“平面是具有以下性质的面,它向四周无限延伸,平面上的直线都与之相合,且若一条直线上有两点与之相合,则整条直线在任意位置与之相合.”这里,海伦强调了平面的无限延伸性.
(二)平面的包含式与构造性定义
18世纪,英国数学家辛松(R Simson,1687～1768)给出了平面的新定义：“平面是具有下列性质的面,通过其上任意两点的直线完全包含在该面上.”辛松的定义实际上利用了现在的公理,我们称之为平面的包含式定义.同时,这也是18、19世纪的几何教科书普遍采用的平面定义.如法国数学家勒让德(A M Legendre,1752～1833)在其《几何与三角学基础》(1800)中、苏格兰数学家普雷菲尔(J．Playfair,1748～1819)在其《几何学基础》(1829)中都采用了此定义.
数学家也给出了平面的一系列构造性定义.德国数学家克雷尔(A L Crelle,1780～1855)给出了平面的静态构造性定义：“平面是包含所有通过空间中一个定点并与另一条直线垂直的直线的面.”法国数学家傅里叶(R J．Fourier,1768～1830)给出了类似的定义：“平面由经过直线上一点且与直线垂直的所有直线构成.”莱布尼兹(G．W. Leibniz,1646～1710)给出了平面的另一个构造性定义：“平面是与两点等距离的点的集合.”匈牙利数学家波尔约(F．W. Bolyai,1775～1856)则采用了动态的构造性定义：“平面是由一条直线绕着另一条与之垂直的直线旋转而成的面.”动态构造性定义与静态构造性定义本质上是相同的.
(三)平面的公理化定义
19世纪末,希尔伯特(D. Hilbert,1862～1943)在其《几何基础》中建立了完全公理化的欧氏几何.在这之前,意大利数学家皮亚诺(G．Peano,1858～1932)创立了数学学派,对算术和几何的公理化作出了巨大贡献.其中的一名重要成员、意大利数学家皮埃里(M Pieri,1860～1913)利用点、线段和运动对几何进行公理化.希尔伯特可能受到数学抽象化和公理化趋势的影响,并未对平面作出定义,而将其作为一个基本的概念,像点和直线一样：公理决定了基本概念之间的联系,概念的意义只有在公理中得到体现,因此公理就起到了定义的作用.希尔伯特的公理被大部分数学家所接受,同时也被数学教育界所接受,因此大多数教科书受其影响,现在的教科书中平面的三大公理即由此而来.
二、教学设计与实施
(一)复习旧知,引出主题
首先让学生回顾之前学过的一些基本的空间几何体,如正方体、棱柱和棱锥；接着让他们观察其中都有哪些基本元素,引出点、直线和平面.由此指出：为了更好地研究立体几何,我们需要对这些元素进行研究.
此后,引导学生思考：这三种元素中有哪些关系？由此引出本章的学习内容：线线关系、线面关系、面面关系.进而,提出问题：这三个基本元素中我们相对比较陌生的是哪一个呢？由此引入本节课的学习主题：平面.
(二)探究定义,生成概念
（教师抛出两个问题：①对于平面,我们既熟悉又陌生,那么在你心目中什么是平面？②怎么画一个平面？学生三人一组互相讨论,并把自己的答案写在小纸条上,大约三分钟.）师首先来看第一个问题.
（教师展示典型答案1：这张纸就是一个
平面.）
师这位同学说得好不好？
生好！
师其实在我们的日常生活就有着很多平面的原型,除了纸面,你们还能想到什么？
生桌面.
生黑板面.
生（笑）吃的面.
师早上吃的面不是哦.还有很多,老师这边也展示一下.（同步展示图片）这是平静的湖面；河面也是；镜面；桌面；同学们说过了,墙面也是,但是,有些墙面不一定是哦.
（教师展示典型答案2：平面是二维的.
一些学生惊叹.）
师我们看这一个,重点在哪儿？
生二维的.
师二维的,所以它是没有
生没有厚度的、没有高的.
师所以,这是平面很重要的一个特性：没有厚度.实际上,这位同学非常了不起：他与古希腊哲学家巴门尼德对平面的认识类似呢！巴门尼德就将平面定义为一个二维对象：它是直的表面.
（教师展示典型答案3：-张无限大的白纸.）
师一张无限大的白纸.无限大,厉不厉害？
生厉害！
师他注意到了哪一点？
生无限延伸.
师所以,平面是不是就这么一块？
生不是.
师它其实和直线一样,是无限延伸的.我们又注意到平面很重要的一个性质：无限延伸.实际上,这与古希腊数学家海伦的定义相同,海伦就将平面看作一个向四周无限延伸的面.所以,数学上的平面和我们生活中的平面有所不同,它经过了数学抽象.就像刚才同学们注意到的,我们得到了平面的两个重要特性：一个是没有厚度,另一个是无限延伸.
（教师展示典型答案4:-条直线平行移动或绕一个点旋转形成一个平面.）
师 同学们觉得可以吗？
生好像可以.
师部分同学的这个想法非常好,不过平移或旋转的方式还需要再说得明白一点.直线平移或绕一个点旋转是构造平面的一种方式,历史上也有数学家给出过类似的构造,如匈牙利数学家波尔约就将平面定义为“一条直线绕着另一条与之垂直的直线旋转而成的面”.可见,这些同学离数学家只有一步之遥啊！
（教师典型答案5：无数条直线平行紧靠在一起构成一个面.）
师这个想法可以吗？
生可以,但是要在同一个水平面上.
师对,要在一个平面上.古希腊哲学家巴门尼德也说过,平面上的直线在任意位置与之相合.大家可能都知道古希腊数学家欧几里得.他在《几何原本》中给出的定义就是用直线来刻画一个平面,他说“与其上直线一样平放着的面”,和刚刚同学的说法有点类似.如果再深入地想一下,就可以得到这些概念.
(三)设计符号,表示平面
师接着来看第二个问题：怎么画一个平面？
（教师展示典型答案1：心形、长方形、圆、三角形、平行四边形、梯形、五角星.一些学生惊叹.）
师这位同学非常厉害,平面在他心目中有无限的可能,有哪些呢？
生心形、长方形、圆、三角形、平行四边形、梯形.
生还有五角星.
师 五角星也是,不用划去.你们最喜欢哪一种？
生五角星和心形.
（教师展示典型答案2：正方形、平行四边形.）
师又是平行四边形.
生老师,他画的是直观图.
师直观图,很好！那说明,我们画平行四边形是因为它是我们之前学过的直观图.实际上,我们同学画的平面大多数都是平行四边形,老师就不一一展示了.所以,数学中的平面就是用同学们最熟悉的平行四边形来表示的,而且它的锐角经常画成45°,横边长经常等于斜边长的两倍.这里,我们要记住,这只是平面的表示,我们刚刚说到平面其实是无限延伸的,在纸上不可能都画出来,因为没有无限大的纸.
(四)刻画平面,引出性质
（教师引导学生发现平面最重要的性质“平”还没有被刻画,并类比初中用两点确定一条直线来刻画直线的“直”,展开思考.）
师我们可以看到,数学家非常聪明,用比直线更基本的元素点来刻画直线的“直”.而刚刚同学们也说到,要用直线来定义平面.所以,我们可以用比平面更基本的元素直线来刻画平面的“平”.那么怎么用直线来刻画平面的“平”呢？（出示表1）观察这个表格,直线和平面平行、相交以及在平面上时,交点各是多少个？
生交点分别是O、1和无数个.
师由此可以得到性质1:(同步展示)一条直线只要有两个点在平面上,这条直线就在平面上.这正是对平面“平”的性质的刻画.生活中有这样一个例子：假设有一根绳子,我们把它拉直,然后将它的两端靠在墙壁上,如果绳子可以完全靠在墙壁上,就说明了这个墙壁是平的.这就用到了我们刚刚得到的性质1.（稍停）刚才说到,历史上很多数学家都对平面作过描述；自然地,对平面“平”的描述也包含在其中.例如,英国数学家辛松将“经过平面上任意两点的直线完全包含在平面内”作为平面的定义.其实,18～19世纪的西方数学家普遍采用了这一定义.
（教师类比“两点确定一条直线”,引出性质2：不在同一直线上的三点确定一个平面.之后给出等价的三个推论,并利用生活中的凳子来说明.教师又类比“两条直线相交有且仅有一个交点”,引出性质3：若两个平面有一个公共点,则两个平面相交,有且仅有一条交线.之后指出这是两个平面相交的性质.在得出性质的同时,教师让学生熟悉符号语言和图形语言.）
师我们已经得到了平面的两个特性和三条性质,之前也给出了很多数学家的定义,那么平面概念到底是什么呢？经过不断地研究,数学家们发现,平面和集合一样,也是原始概念.所以,德国数学家希尔伯特在其《几何基础》中将平面作为不加定义的概念,用刚刚得出的三个性质作为三个公理来描述.这就是我们现在的教科书中对于平面的描述.
（五）应用知识,练习巩固
首先,利用以下辨析练习,让学生巩固刚刚得到的平面概念与公理：(1)三点确定一个平面；(2)经过同一点的三条直线确定一个平面；(3)若两个平面有三个不在同一直线上的公共点,则两个平面重合；(4)两两相交的三条直线共面.由此,教师强调：公理中的某些条件是不可或缺的.
其次,通过以下转化练习,让学生熟悉有关的符号语言和图形语言：(1)点A在平面a内,点B在平面a外；(2)直线a经过平面a外的一点M；(3)直线a既在平面a内,又在平面口内.这一练习让学生自己在课本上写出并进行核对,从而巩固三种语言的转化.
(六)总结知识,提炼升华
首先,教师引导学生总结本节课的知识要点：点、线、面的位置关系,符号语言的表达,文字语言、图形语言、符号语言之间的转换；平面的概念,两个特性、三个公理及其运用方法；平面的表示.
其次,教师指出：这节课中我们认识到了平面的抽象性以及从直线到平面研究的类比思想.
最后,教师指出：平面概念经历了漫长的发展历程,很多数学家都对此作出了贡献,同学们的认识也都和这些数学家是类似的,你们都是小小数学家.
三、学生反馈
课后,我们搜集了全班42名学生对本节课的反馈信息.
90%以上的学生对本节课感觉良好,其中21位学生对本节课感觉非常好；90%以上的学生听懂了这节课；85%的学生喜欢这样将数学史融入课堂中；80%的学生认为数学史的融入对学习效果有帮助作用.
关于本节课中印象最深的内容,学生的回答有：点、线、面之间的联系；平面是二维图形且具有无限延展性；平面的三大公理；历史上的数学家及其对平面的不断研究；数学中显著的相似性；师生互动.
关于本节课中数学史对学习的帮助以及启示,学生的回答有：数学在不断探索中发展；数学是慢慢形成的；人类是很有智慧的；要勇于探究；理解了三个公理是如何发现的；有助于记忆；让数学变得有意思.
关于平面概念认识的历史相似性,将学生课上的小纸条收上来后,我们发现了更多与历史上数学家相似的回答,比如与巴门尼德的定义类似的“平的表面”、与莱布尼兹的定义类似的“水平面上点的集合”.因此,学生对平面概念的认识是丰富多彩的,其历史相似性昭然若揭,我们在课上其实可以更多地加以利用.
课后访谈表明,学生对于第一次在数学课堂中深入接触数学史感觉比较新鲜,知道了概念的来源,并且感受到数学的发展对学习有帮助,感觉到数学史的融入引起了课堂气氛的活跃.作为“点、直线、平面之间的位置关系”这一章的起始课,本节课激发了学生的兴趣,算是一个好的开头.
四、结语
本节课中,数学史的价值主要体现如下：
(1)数学史的运用方式主要是重构,即基于学生对平面的认识与古希腊哲学家巴门尼德、古希腊数学家欧几里得、海伦、德国数学家克雷尔、法国数学家傅里叶、匈牙利数学家波尔约等对平面的定义类似,从他们的认识出发,水到渠成地抽象出平面的特性.让学生经历这一过程,明白平面概念并非从天而降,而是存在于每个人的心中,经过数学抽象,逐渐发展而来的.因此,以史为鉴使平面概念的发生和发展变得自然而然,数学史体现了“知识之谐”.
(2)在写出自己对平面的认识的基础上,引导学生探究得到平面的各种性质,为他们积累数学活动经验提供了机会,同时也让他们成为课堂的主人.因此,数学史体现了“探究之乐”.
(3)通过历史上数学家对平面的定义,让学生认识数学概念的演进历史,感悟数学文化的多元特性.因此,数学史体现了“文化之魅”.
(4)通过自己对平面的认识与数学家对平面的定义的对比,让学生体会穿越时空与数学家对话的感觉,培养他们的自信心.因此,数学史体现了“德育之效”.
本文系本刊连载的汪晓勤教授团队开发的HPM案例之一,也系上海市教育科学研究重大项目“中小学数学教科书的有效设计”的子课题“中小学数学教科书中数学文化素材的案例设计”(编号：D1508)的系列成果之一.
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