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理解教材 立足学生 注重过程 揭示本质
林 虹
（江苏省张家港市崇实初级中学 江苏 张家港 215621）
摘 要：概念是思维的细胞.概念教学时要体现概念产生的背景,突出概念的发生与发展,注重概念教学的核心——概况,揭示数学概念中所蕴涵的思想方法,促进学生对概念的实质性理解.通过对实际问题“数学化”的过程,积累的学生活动经验,提升学生的思维能力,增强学生的应用意识.
关键词：初中数学；概念教学；思想方法；类比概括
概念是思维的细胞.“数学根本上是玩概念,不是玩技巧.技巧不足道也”！因此,我们必须十分重视基本概念的教学,在核心概念的教学上更要做到“不惜时,不惜力”[1].然而,当前“一个定义,三项注意”、“掐头去尾烧中段”、“概念教学等于 解题教学”、“照本宣科+ 模仿训练”等数学概念教学方式屡见不鲜.这些重“结果”轻“过程”的教学方式,没有概念产生的背景,没有概念的概括过程,忽视概念所蕴涵的数学思想方法,失去了学生发展能力与个性的机会,这是教育功利化在数学课堂上的集中表现.笔者曾听过张林老师执教的《二元一次方程》,该课充分体现数学概念教学的实质.
一、抓住课堂导入展示概念背景
课堂教学导入,是在新的教学内容开展之前,引导学生进入学习状态的教学行为.高尔基说过“文章的开头为定调,一定要好.雅沙菲兹的小提琴第一个音符就准确,悦耳动听.”教学亦然,好的导入,好比一把钥匙,开启着学生的心扉,达到“课未始,兴已浓”的良好状态.张老师是这样设计的：
问题1：某市在暑假期间组织了中学生篮球联赛,比赛规则是：赢一场得3 分,输一场得1 分；
（1）一支球队在联赛积20 分,其中输了5 场,若设该队赢了x 场；请列出方程 .
（2）若没有输5 场,能列出方程吗？
（3）一支球队在联赛积20 分,若设该队赢了x 场,输了y 场；请列出方程 .
问题2：初一（7）班有18 名学生相约到公园划船,需要租用船只,公园有A、B 两种型号的船,A 型船可以坐2 人,B型船可以坐3 人,每艘船都坐满,若设A型船租了x 艘,B 型船租了y 艘；请列出方程 .
问题3：上述三个方程中有你们熟悉的方程吗？是什么方程？
该导入以学生熟悉的情境为载体,从列一元一次方程着手,提出问题,让学生体会到生活中有不能用一元一次方程解决的实际问题,它可以用含两个未知数的方程表示,引出新知. 这个教学片段体现了“二元一次方程”产生的背景,它让学生经历了“数学化”过程,感知“二元一次方程”是在学习了“一元一次方程”的基础上,为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出的,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,使学生产生必需学习这一新知的心理.两个新方程与学生原有的认知结构不符,给学生心理上造成一种强烈的冲击,使他们对所讲内容产生一种急于追下去的心理.这个情境就像一粒小石子,虽然小,却可以击中学生的“心潮”,激起朵朵涟漪,形成了“波才动万波随”的局面.
二、提供认知框架凸显教学思想
本节课是单元起始课,老师们一般都是单刀直入,直接进入二元一次方程概念的探索,忽略了起始课所承载的教育价值和作用,有“见木不见林”的弊端,容易造成被动学习的局面,学生独立思考、自主探究的机会大大减少.张老师通过高立意低起点的教学设计有效地弥补这一缺陷.
问题1：我们研究了“一元一次方程”的哪些内容？
问题2：类比一元一次方程的研究,能勾画一下“二元一次方程”研究的问题、过程和方法吗？
美国教育心理学家奥苏泊尔提出：先于学习任务本身呈现的一种引导性材料,它要比原学习任务本身具有更高的抽象、概括和包容水平,并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联,为新知识的学习提供认知框架.由于数学学习的抽象性和形式化,数学的引导性材料除了要求保持应有的综合性外,还应尽可能地使用具体、形象的语言,用最基本的常识性的概念来勾勒整体轮廓,使学生获得一个总体印象.该设计从这一理论出发,以一元一次方程为起点,通过类比提供了二元一次方程的认知框架,让学生对本章的研究内容有一个整体认识,在后续研究中能够“见木见林”.它使学生明确数学中研究一个问题的“基本套路”,是对思想方法的追索.在一个章节、一个单元的起始阶段,引导学生先从整体上概括地思考一下研究的内容和方法,不仅对学生领领悟数学思想方法有作用,而且对培养学生的创新精神和实践能力也有积极意义.
三、类比新旧知识提升概括能力
初中数学中有些概念具有类似性,它们在结构和特征上有着共同点和相似处.因此可用与旧概念类比的方法引入新概念,突出知识间的联系,有利于学生掌握的系统性及内在联系.张老师是这样处理二元一次方程概念教学的：
问题1： 方程3x+y等于20、2x+3y等于18 有怎样的共同点？
问题2：方程3x+xy等于20 有以上的共同点吗？它与前两个方程有无区别？若有,区别是什么？
问题3：类比一元一次方程的定义,大家试着给二元一次方程下定义.
问题4：一元一次方程与一元二次方程有何联系与区别？
这一设计由问题1 概括出有两个未知数、未知数的次数是1、都是整式方程的共同属性,问题2 激发学生对“项的次数”的思考,完善学生对两个新方程共性的概括.接着与一元一次方程的概念类比,得出二元一次方程的概念.它渗透了类比、特殊到一般的数学思想,有利于学生掌握知识的系统性及内在联系,促进了学生对二元一次方程概念的实质性理解,使学生的概括能力进一步得以提升.它符合教育与发展心理学提出的观点：数学概念教学的核心就是“概括”,就是将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开,以若干典型具体事例为载体,引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念.
四、找准思维起点 提升思维品质
美国教育心理学家奥苏伯尔曾指出影响学习唯一最重要的因素是学生已经知道了什么,要探明这一点,并应就此进行教学”.学生的学习过程是在教师的引导下的自我建构、自我生成的过程,其基础是学生原有的知识与经验,学生原有的知识与经验是教学活动的起点.张老师充分认识学生原有的知识水平,借助于学生已有的知识储备,展开二元一次方程解的教学.
问题1：已知一元一次方程2x+1等于9,它的解为 .如何判断该答案是否正确？
问题2：下面两对数值,能使二元一次方程2x+y等于9 两边的值相等是 .( 填序号) ① x等于2,y等于5 ② x等于-5,y等于1
问题3：这样,适合二元一次方程的一对未知数的值叫做二元一次方程的一组解.二元一次方程2x+y等于9 的解除了x等于2,y等于5,你还能写出其它的解吗？（一半的学生上黑板写,另一半上前批改）
问题4：如何判断书写的答案是否正确？如何书写的？
问题5：展示书写方法：当x等于1 时,
2×1+y等于9,移项得y等于9 － 2,y等于7；当x等于2 时,
2×2+y等于9,移项得y等于9 － 4,y等于5；当x等于3 时,
2×3+y等于9,移项得y等于9 － 6,y等于3……
你能把该方法简化吗？
（ 先移2x 项, 得y等于9 － 2x, 再取x的值代入计算）
张老师准确把握了学生已有的数学认知结构,明确新内容与已有数学认知结构之间的关系.从已有的知识经验“一元一次方程的解”中寻找切入点,引导学生独立思考、主动探索,得出二元一次方程的解的定义.为了揭示二元一次方程有无数组解的特征,他设置的问题3 简单又开放,带有一定的挑战性.学生在高涨的情绪中,通过自己的亲身经历体会到“二元一次方程有无数组解”,这一新知的教学水到渠成、自然流畅.问题4、5,引导学生透过表面现象看本质,最终得出“把二元一次方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示”.这是一个“低起点,高落点”的探索活动,它让每一位学生都有事可做、有话可说,既照顾到个性差异,又容易诱发迁移,能使学生在不经意间攀登到知识方法的巅峰.它真正落实了《新课标》中倡导的“教师为主导,学生为主体”的教学原则.
五、解决实际问题 增强应用意识
《数学新课程标准》指出：为了适应时展对人才培养的需要,数学课程还要特别注重发展学生的应用意识.应用意识有两个方面的含义,一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中问题；另一方面,认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决.
问题初一(7) 班有18 名学生相约到公园划船,需要租用船只,公园有A、B 两种型号的船,A 型船可坐2 人,B 型船可坐3 人,每艘船都坐满.若设A 型船租了x 艘,B 型船租了y 艘；①请列出方程：2x+3y等于18；②求出这个方程所有的解；③共有几种租船方案.
通过以上问题的解决,使学生感悟数学不是“枯燥”的,而是有“价值”的.它进一步培养了学生用数学眼光看问题、用数学头脑想问题的能力,增强了用数学知识解决实际问题的意识,进一步明了数学来源于生活,又服务于生活.
总之,张老师的这一节概念课,从二元一次方程产生的背景出发,揭示其蕴涵的数学思想,促进学生对概念的实质性理解.它遵从了学生的一般认知规律,使学生的学习始终处于一种自然生成的状态,新知识的发生、形成、应用,不是教师强加于学生的,它是一节高效的概念课.
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