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小学数学图形和几何课程内容的演进和
【摘 要】新中国建立60多年来,小学数学中图形与几何课程内容不断发生变化.通过对小学图形与几何课程内容的演进过程进行客观回顾、反思及述评,总结其特点和规律,有助于认知图形与几何的课改进程及内在逻辑,引发对小学几何课程内容的选择性与适切性、严谨性与可接受性、视觉直观与动作直观等问题的深入思考,对指导当下小学数学课程内容的改革及课程体系的合理建构,具有借鉴和启示意义.
【关键词】小学数学；课程内容；图形与几何；演进与思考
【中图分类号】G423.04 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）73-0029-05
【作者简介】刘久成,扬州大学（江苏扬州,225002）教育科学学院教授,江苏省数学特级教师,研究方向：数学课程与教学论.
20世纪60年代的“新数学”运动,80年代的“回到基础”运动,导致中小学几何课程受到削弱.90年代,国际数学教育开始反思几何教育的价值,几何的重要地位得到重新确立,并提出了复兴几何教学的口号.如今,我国“图形与几何”课程的内容得到进一步拓展,增加了图形的变换与方位等方面的内容,更加重视学生推理、探究和几何直观能力的培养.检视自新中国成立以来的小学图形与几何课程内容的历史演变过程,总结其特点和变化规律,对于进一步改革小学数学课程的目标、内容,建立科学合理的课程体系具有借鉴和启示意义.
一、小学图形与几何课程内容的演进
新中国成立60多年来,教育部先后颁发了11部小学数学教学大纲（课程标准）,其中,图形与几何课程内容不断变化,演变进程主要分以下五个阶段：
20世纪50年代.当时中国以苏联教学大纲为蓝本,在内容体系、结构形式等方面都仿照苏联,内容偏少,难度较低.强调实用,注重实地测量和几何求积.在编排结构上采取先直观认识简单图形,再进一步认识图形的做法被后来所采纳；在前三年学习认数与计算时,虽然广泛地使用正方形、长方形、三角形、圆、正方体、长方体等作为教学素材,但总体上几何课程主要安排在四、五年级.
20世纪50年代末至60年代初.在1958年掀起的“大跃进”运动中,教育主管部门否定了学习苏联经验的做法,各地编写了多种实验教材,内容革新幅度较大,难度明显提高,但到了1960年,又开始了反思和调整.课程内容改革主要体现在1963年的大纲（六年制）中,图形的认识内容明显增加,同样重视测量教学,显示了图形的认识和测量并重,并重视通过画图来认识图形.在教学目标中首次提出培养空间观念的要求,开始注意按欧氏几何概念发展线索建立教学内容的结构体系.
20世纪70年代末至80年代中期.“”结束后,教学秩序迅速得到恢复,1978年颁布的教学大纲（五年制）采取“精简”“增加”“渗透”的措施,继续按欧氏几何概念发展线索建立教学内容的结构体系：线→角→面→体.先认识图形,再学习相关的测量（长度、角度、周长、面积、体积）.在一些抽象概念的教学处理上,注重分阶段安排教学,如“角的认识”分两次进行.增加对称、扇形的认识和面积计算,以及土石方计算.注重培养空间观念,加强形与数的结合,渗透数学思想方法.
20世纪80年代中期至20世纪末.国家实行九年义务教育,切实提高全民素质,采取课程教材多样化措施,实行教材编审分开,其间,先后颁发了三部义务教育大纲,课程内容基本相同,课程弹性有所增强,改课程内容分学期设计为分年级设计.
适当分阶段认识图形,如先直观认识再进一步认识常见图形,改变了“一步到位”的编写方式.几何内容分散安排,贯穿各个年级.加强测量、拼摆、画图等实际操作方面的训练.三角形内角和、组合图形、扇形和球列为选学内容.
2001年以来的课程改革.此次改革将几何课程内容定名为“图形与几何”,具体包括：图形的认识、测量、图形的运动和图形与位置四个部分.强调以发展学生的空间观念、几何直观和推理能力为核心,拓展了几何学习领域（图形的运动,图形与位置）.在结构顺序上,先直观认识常见立体图形与平面图形（长方体、正方体、圆柱和球,长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆）,再进一步认识常见图形,并按点→线→角→面→体的逻辑顺序编排,贯穿小学各个年级.削减了周长、面积、体积的单纯计算,增加实践性、探索性活动,按照实验→猜想→验证→概括的逻辑顺序设计内容.
二、小学图形与几何课程内容演进的特点
1.不同时期的课程理念和课程目标决定课程内容的取舍.
20世纪50年代,学习几何主要是为了实际应用,提高几何应用技能,因而课程内容主要是长度、面积、体积的计算,包括线段的测定和测量、画图的技能训练.60年代提出发展学生空间观念的要求,形成了培养学生计算能力、逻辑思维能力和空间观念三大数学能力和解答应用题能力,对图形特征的认识更为重视,认识的图形包括：角、平行线和垂线,长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆,以及圆柱、棱柱、圆锥、棱锥,这些内容比50年代明显增加,基本形成图形的认识与测量并重的内容体系.80年代至90年代,空间观念的内涵不断清晰,目标更加明确,要求“使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象,能够识别所学的几何形体,并能根据几何形体的名称再现它们的表象,培养初步的空间观念”.课程内容的知识点变化不大,但在素材选择和内容安排上,大纲提出“要通过直观教学和实际操作,引导学生在感性材料的基础上,理解数学概念,进行简单的判断、推理”,“要注意加强测量、拼摆、画图等实际操作方面的训练”.21世纪以来,几何课程的教学目标,强调以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心,增强应用意识,提高实践能力.依此,课程内容作了较大幅度的调整,在基本保留直观几何、度量几何传统内容的基础上,增加了“图形的运动”“图形与位置”内容,密切了数学与生活的联系；削减了单纯求周长、面积和体积的内容；变换思想、坐标思想以直观的形式成为小学数学教学内容；增加了许多生活中的几何,以体现学习有用的数学的理念.
2.课程内容不断增加,由注重求积到图形认识与测量并重,再到增加图形的运动与方位,更加贴近儿童的生活实际.
新中国成立初期,小学几何内容以度量几何为主,注重实际测量和求积,包括实地测量,黑板面、窗口、地面、菜园等面积计算,房间、仓库、地下室、贮藏室等容积计算.60年代初,以及“”结束之后的课程重建,几何课程内容基本不变,均由图形认识与几何测量组成,图形的认识得到加强.1988年开始实施九年义务教育大纲,内容基本上还是认识图形和测量两大部分,但注重直观操作和联系儿童实际,并设置了选学内容,如三角形内角和、组合图形、扇形和球,增加了课程的弹性.进入21世纪,小学几何课程内容明显拓展,由图形的认识、测量、图形的运动和图形与位置四个部分组成,最为突出的是图形的运动、方向和位置进入了小学几何,与儿童的生活实际联系更加密切.通过运动、方位来探索图形的特征和一些性质,有助于发展学生的几何直观和空间想象力.
3.内容结构从集中直线式到分散交替式,从注重知识体系到强调实践应用,体现学科特点和学生的认知规律.
20世纪50年代,几何内容以独立单元集中安排在四、五年级,编排过于集中.60年代初至80年代初,在内容结构安排上,基本按欧氏几何概念发展线索建立教学内容的结构体系：线→角→面→体.先认识图形,再学习相关的测量（长度、角度、周长、面积、体积）,采取直线式编排方式,并集中在中高年级.80年代以后,人们认识到小学生学习几何不是以几何公理体系为基础,而是以生活经验为基础的,基本的几何概念学习宜于从现实生活材料中进行抽象概括,基本规律的探索应基于解决实际问题的需要.小学生的生活实践告诉我们,他们形成几何概念时,最先感受到的是空间物体,点、线、面的认识必须以空间物体为依托,因此,小学生在认识图形时宜从简单的几何体出发.1984年8月,在澳大利亚阿得雷德市召开的第五届国际数学教育会议上,关于几何教学,大会也特别提出：“要提供能够吸引学生的教学材料,应把三维的教学材料放在二维的教学材料之前.”因此,自1988年以来,小学教材一般是让学生先直观认识简单的几何体和常见的平面图形,然后再进一步学习,即采取“三维、二维、一维”到“一维、二维、三维”的交替式安排,并且将几何内容分散在各个年级.图形认识的要求由辨认（直观认识阶段）→认识（概念学习阶段）→探索证明（主要在中学阶段）,体现思维的不断深化,具有层次性,改变了“一步到位”的结构方式.内容呈现更多地结合现实情境,让学生体会到数学源于生活,服务于生活,对于解决问题、增长智慧有不可替代的作用.
三、对小学图形与几何课程内容的进一步思考
新世纪以来,小学图形与几何课程如何深化改革,仍然是值得探讨的问题.
1.小学应该开设什么样的几何课程.
几何学的发展历史告诉我们,人们认识几何是从直观几何（实验几何）开始的.人们最初想到用简单的几何图形去做装饰工艺品,去构造建筑物；随后由于土地测量等计算的需要,又产生了度量几何,如：测量长度、面积、体积等.随着人类文明的发展,几何学作为一门科学诞生,其成果主要反映在大约公元前300年欧几里得《几何原本》中.此时的几何特征是概念性的.随后,由于透视画的出现诞生了射影几何,几何与代数的融合诞生了解析几何,数学分析运用于几何产生了微分几何,特别是由于《几何原本》中第五公设的研究,产生了非欧几何,几何学的不断发展,使得研究几何图形在连续变形下保持不变性质（形象地说就是允许伸缩、扭曲,但不许割断、粘合）的拓扑学成了独立的数学分支,人们已经认识到几何的多样性.但是,哪些能够进入到中小学？有学者认为：学校教育的早期,教学欧氏几何是重要的,应该鼓励学生去研究简单的几何图形,并探索这些图形的性质.欧氏几何建立了一种最简单、最直观、最能为小学生所接受的数学模型,让学生利用这样的模型去思考、去探索,可以使学生体验到数学推理的力量.当然,低年级接近欧氏几何的方式必须是非形式的和解释性的,而把系统化留给较高年级.几何学有区别于其他数学的特点,现代几何中有许多问题是小学生能够理解的,比如,哥尼斯堡七桥问题、一笔画问题、麦比乌斯带问题、英国数学家哈密顿提出的“旅行世界”问题等.这些问题并非欧氏几何中的问题,也无须要求学生了解相应几何领域的概念系统,但它对于培养学习兴趣,发展学生的空间观念和推理能力都很有帮助.
小学几何课程应更多地联系生活实际,向学生展示几何在生活和生产实践中的应用,并且告知这些应用会影响他们的生活.本次课程改革强调几何变换,是指导思想上的变化,让图形“动起来”,在“运动和变换”中来研究和揭示图形的性质.这可以加深对图形性质的本质理解,也可以提升学生的几何直观能力.在小学,几何属性的数量表示也是值得关注的领域.我们已经看到,用代数的方法研究几何具有重要的教育价值,现行中学教材中引进向量几何的成功做法就是很好的说明.在小学适当渗透坐标思想,用数对或者方向与距离表示位置都是学生能够理解运用的知识,也是数形结合思想的体现.
2.严谨性与学生可接受性相结合.
小学数学中的几何与作为数学科学中的几何存在明显差异.数学科学中的几何有完整的知识体系,有严密的逻辑体系,属于论证几何的性质,其中任何一部分的知识都能在这个体系中找到它存在的确定性.小学数学中的几何属于数学教育的内容,呈现的是数学的教育形态,是几何学中最基础的、经过教学法加工的、适合于小学生学习的课程内容.历史地看,几何内容有如下几个特征：直观的、计算的、概念的、代数的、功利的、实用的.在设计小学课程时必须作出选择.我们认为,小学几何应凸显其直观性.内容呈现要强调情境设置,体现从生活到数学、由直观到抽象的特点.比如,学生认识角时,通常总是让学生先观察钟面上时针和分针,剪刀的刀口、纸扇的两边等,抽象得到形状不同的角,再进一步分析角所具有的特征：一个顶点两条边.
小学数学教材既要根植于儿童的生活实际,又要言之有据,形成循序渐进、互相连接的逻辑框架.经验表明,小学生学习几何不可能跳过早期的直觉阶段,而把几何局限于形式的、代数的特征之中.对几何事实、概念的全面理解,应采取螺旋上升的方式,在不同水平上对同一课题进行教学.现行小学几何教材让学生先直观认识简单的几何形体,再进一步学习的循环式、交替式安排,符合学生的认识规律.不过,图形概念的建立应坚持科学性,注意低、高年级之间,以及小学与中学之间的相互衔接.数学家苏步青认为,中小学数学教材编写要坚持“混而不错”的原则,从而保持一定的逻辑严谨性.现行小学数学教材中用行驶的火车、景区的缆车作为平移的事例,以拖拉机的车轮印、运动场上的双杠作为平行直线的例子就容易产生误解.火车是要拐弯的,缆车能沿直线行走吗？拖拉机的车轮印虽间距相等但它不一定总沿直线行驶,双杠给人以两条线段的印象,作为平行直线还是要超越经验,想象成无限延长而不相交的两条直线.
3．重视视觉直观与动作直观的运用.
心理学研究表明,小学生对图形的认识,形成和发展空间观念要依靠直观教学手段.这种直观手段主要有视觉直观和动作直观两种.
视觉直观.视觉直观就是观察,是一种积极的感知活动.小学生的观察要遵循：从感知强刺激成分到感知弱刺激成分；从认识单一要素到认识要素之间的关系.比如：认识长方体时,应依面、顶点、棱的顺序展开,逐步认识长方体的三个要素；在呈现要素之间关系的时候,要依次分别探讨面与面、面与棱、棱与棱之间的关系.认识图形时,还要注意从感知标准图形到感知变式图形,比如：当我们从肯定例证中抽象出平行线后,要让学生观察非水平或非竖直方向两直线平行的变式图形,观察画出的两条不一样长的平行线等,进行辨别,说明理由,以凸显平行线的本质属性.
动作直观.主要有两种：操作实验和画图.操作实验包括图形的折叠、拼摆、割补、测量、制作等.需要视觉、触觉、运动觉的协同活动,在不同年级都会得到广泛应用,是发展空间观念的有效手段.根据皮亚杰的研究,学生动手画图可以反映学生对几何概念的理解.比如,过两点画线段,可以让学生感受线段的特征：直的、有两个端点、可测量长度；过直线外一点,画已知直线的平行线、垂线、垂线段,可以促进学生体会平行公理、垂线的唯一性,垂线段最短等性质；用圆规画圆,可以让学生感受圆的特征：有一个圆心、半径都相等.
在几何教学中,量一量、比一比是获得数量及其关系认识的实验方法,操作说理是获得数学知识的直观方法,演绎推理则是给出数学规律的逻辑方法.小学几何知识的学习以直观实验为主,但也要将合情推理与论证推理相结合,循序渐进地培养学生的推理能力.■
【参考文献】
［1］课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编：数学卷［M］.北京：人民教育出版社,2001：112.
［2］刘久成.人教社三种小学教材中“圆”的课程内容比较［J］.数学教育学报,2015（2）：46-49.
［3］曹飞羽.小学数学教育改革文集［M］.北京：人民教育出版社,1996：320.
［4］鲍建生,徐斌艳．数学教育研究导引（二）［M］．南京：江苏教育出版社,2013：119.
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