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导数综合题中构造函数的两个着眼点
武汉外国语学校 刘小博
纵观近年各地高考试题,导数综合题的热度始终不减,也是试卷中难度较大,区分度较高的试题之一. 而利用导数研究一个函数时,往往会涉及到构造新的函数,利用对新的函数的研究,来达到对原来函数研究的目的,在这个过程中,如何构造一个或多个恰当的函数,往往是学生觉得比较困难的地方. 本文结合笔者的教学实践,谈谈构造函数的两个着眼点—— — 形式优美、性质明晰.
一、构造形式优美的函数
形式服务于内容,形式上的美,必然意味着内容上的明确、深刻. 因此,在构造函数时,要着眼于形式优美,构造出利于问题研究的恰当的函数.
1.构造结构协调的函数
结构协调是一种美,结构美的函数更有利于我们去研究,在实际应用中,要根据所研究的问题,着眼于函数的类型、次数、系数等,根据要解决的问题,构造结构协调的函数.
案例 1（ 2018 年高考全国卷 III 理科第 21 题）已知函数 f(x)等于 （ 2+x+ax 2 ）ln （ 1+x）-2x．
（ I）若 a等于0,证明：当 -1＜x＜0 时, f(x)＜0；当x＞0 时, f(x)＞0；
（ II）若 x等于0 是 f(x)的极大值点,求 a．
分析 对于第 （ I）小问,当 a等于0 时,f(x)是一个不含参数的函数, 于是利用导数研究函数的单调性,从而得到解答即可.
当 -1＜x＜0 时,g′(x)＜0；当 x＞0 时,g′(x)＞0.故当 x等于-1 时, g(x)≥g(0)等于0,且仅当 x等于0 时,g(x)等于0,从而 f ′(x)≥0,且仅当 x等于0 时,f ′(x)等于0,所以f(x)在 （ -1,∞）单调递增.
又 f(0)等于0,故当 -1＜x＜0 时,f(x)＜0；当 x＞0时, f(x)＞0.
分析 从第 （ I）小问解法可以看出,对于 f(x)等于（ 2+x）ln （ 1+x）-2x,由于函数 f(x)含有一次式与对数式相乘的部分 （ 2+x）ln （ 1+x）,一次求导不能完成对题目的解答,因此在第 （ II）小问中得利用多次求导才能完成分析. 另外,对于 f(x)等于 （ 2+x+ax 2 ）ln （ 1+x）-2x,前面的 （ 2+x+ax 2 ）ln （ 1+x）较复杂,后面的 -2x较简单,故从结构上来看也不协调,显得头重脚轻,不美观. 结构上的不协调会带来解法上的困难,故需要对函数解析式进行改造,改造为 h(x)等于ln （ 1+x）
将一个形式复杂的函数转化为两个形式简洁的函数来研究,在问题解决的同时,也欣赏到数学的简洁之美,在理性思考中提升感性认识.
二、构造性质明晰的函数
彭海燕在 《 “ 套路”和 “ 模型”视角下恒不等式问题的探讨》一文中曾谈到,在 “ 套路”和 “ 模型”视角下,根据常见函数如 x 与 e x 的和、差、积、商,x 与lnx 的和、差、积、商等 “ 模型”,构造出凹凸性不一致的两个函数, 从而很方便地对原问题进行研究,就是所谓的 “ 套路”.实际上,构造的函数性质明晰,将有利于对其以及对原来函数的研究,这里谈的性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性、凹凸性,渐近线等.
一般说来, 形式优美是为性质明晰服务的,构造的函数结构协调、形式简洁,其性质也更容易凸显,更有利于我们对函数的研究与把握.因此,在实际教学中,引导学生关注形式、注重内容 （ 性质）,是一个重要的任务.
责任编辑 郑占怡
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