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数学学习：以支点完善认知结构
摘 要：所学的知识,只有与学生已有的认知结构建立联系,才会被记住并进一步加工.数学教学应找准知识衔接点、认知冲突点、数形结合点、思维发散点等学习意义上的“支点”,由点及线、由线及面,促进学生主动建构并完善认知结构,进而学会学习.
关键词：支点同化顺应认知结构
在教学一线,常常听到教师感叹：“昨天刚讲的问题,学生今天就忘记了！”究其原因,可从教育心理学角度寻得答案：所学的知识,只有与学生已有的认知结构建立联系,才会被记住并进一步加工.正如教育心理学家布鲁纳指出的：“学习的实质在于主动地形成认知结构.”在我校“多支点探究学习”的研究背景下,笔者发现数学教学应找准知识衔接点、认知冲突点、数形结合点、思维发散点等学习意义上的“支点”,由点及线、由线及面,促进学生主动建构并完善认知结构,进而学会学习.
一、以知识衔接点促进认知同化
认知的同化是指改变知识的形式,将新知转化为认知结构中已有的知识,从而同化新知.教师可以利用新、旧知识的衔接点作为支点,在学习新知前,想方设法唤起旧知的重现,激发它们在认知过程中的积极作用,促进新知的同化.例如, 一位教师执教 《两位数加两位数的口算》一课的教学片段——
（出示三组口算题,见图1.）
45+2035+3025+40
45+235+325+4
图1
师第一行和第二行的口算相比,有什么特点？
生第一行都是两位数加整十数,第二行都是两位数加一位数.
师还记得口算的方法分别是什么吗？
生两位数加几十就是在十位上加几,两位数加几就是在个位上加几.
师这是我们之前学过的知识.今天我们学习口算45+23,你有什么好方法？
生可以把23变成20和3,先算45+20等于65,再算65+3等于68.
生还是把23变成20和3,也可以先算45+3等于48,再算48+20等于68.
师怎么都想到把23拆成20和3呢？
生把23拆成20和3,再去和45相加就比较简单了.
生因为我们会算45+20等于65,也会算65+3等于68.
师说得真好！就是把复杂的口算题转化成我们学过的、会计算的口算题.
学习本部分内容之前,学生已经会口算两位数加整十数和两位数加一位数,教师便抓住新、旧知识的衔接点展开教学.口算45+23时,引发学生联想：可以把23拆成20和3……这里,两步计算都是学生认知结构中的“旧知”,其似乎有一种“召唤力”,帮助学生自然实现了认识的同化.
二、以认知冲突点促进认知顺应
顺应是指新知与学生原有的认知相矛盾时,学生无法从原有的认知结构中找到“固着点”来同化新知,认知机体处于失衡状态,只能更新原有认知,顺应新知,从而达到新的平衡.教师可以抓住学生的认知冲突点,激发学生主动探究的,让学生在交流、辩论、思维碰撞中,接近知识的本质,促进认知的顺应.例如,一位教师执教《3的倍数的特征》一课的教学片段——
（出示数据：33、36、69、123、96、99.）
师这些数中哪些数是3的倍数？
生都是3的倍数.
生只要是个位上是3、6、9的数,就是3的倍数.
师哦？那13、16、19、23、26、29呢？
生不是的.
（学生感到困惑,产生认知冲突.教师呈现1到100的百数表.）
师圈出其中是3的倍数的数,并想想有什么特点.
生我先找了30以内的数,有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30.我发现,有的数虽然个位上不是3、6、9,但却是3的倍数,说明个位上是不是3、6、9和是不是3的倍数没有关系.
生我发现,3的倍数的个位上可能是0到9,说明个位上的数和是不是3的倍数没有关系.
生我觉得一个数个位上的数加十位上的数的和是3的倍数,那这个数就是3的倍数.比如12,1+2等于3,所以12是3的倍数.
师像这样,继续往后找,看看刚才的发现是否成立.
……
在探索3的倍数的特征时,学生很容易形成这样一种认知：只要个位上是3、6、9的数,就是3的倍数.因此,教师出示反例,学生的认知平衡被打破,产生认知冲突,认知需求被激发,进而自主探索发现规律,实现认知的顺应.
三、以数形结合点促进认知理解
小学生的思维是具体的、形象的,而数学学习是抽象的、概括的.因此,教师要在学生思维和数学思维之间搭建桥梁,引领学生的思维从具体形象过渡到抽象概括,促进学生的认知理解和思维提升.例如,一位教师执教《有余数的除法》一课的教学片段——
（教师出示题目：王奶奶把50个鸡蛋放在6个袋子里,发现每个袋子不能装的一样多,那么至少添上几个,就能让每个袋子里装的鸡蛋一样多？）
生50÷6等于8（个）……2（个）,每个袋子里有8个鸡蛋,那剩下来的2个鸡蛋还需要6个就变成8个,即8-2等于6（个）.
生我不同意.把剩下来的2个鸡蛋放到前面的袋子里,再添上6-2等于4（个）,就能一样多了.
师你们觉得呢？
生我认为添上6个,因为再加6个,每个袋子里就同样多了.
生我认为添上4个.
……
师大家分歧很大,不如动手画一画,把题目的意思简单地画出来.
师（展示一位学生画的,如图2）这是一位同学画的,你能看懂他的意思吗？
图2
生我觉得添上4个,因为多的2个鸡蛋放在前面2个袋子里,后面4个袋子里还缺,需要再加上4个,才能使每个袋子里同样多.
生我也认为是添上4个,如果是加上6个,就是7个袋子了,而题目要求是放在6个袋子里.
在学习“有余数的除法”时,部分学生会有思维定势,即先进行除法运算,得到余数再说,这有时就会将解题引向歧路.教师引导学生画图,让学生在数形结合的帮助下,一目了然,顺势理清思路,深刻理解有余数除法各个部分的含义,让问题迎刃而解.
四、以思维发散点促进认知深化
在教学中,教师不能满足于将学生的思维停留于某一点,而应以思维发散点为支点,通过类比、联想,串联学生的认知,完善学生的认知结构,使学生的认知更加深化.例如,一位教师执教 《千以内数的组成》一课的教学片段——
师（出示1张100元、3张10元、5张5元的人民币图）这些人民币一共多少元？怎么想的？
生100元加30元再加5元,结果是135元.
师根据这个,你还能联想到什么？
生我觉得这道题目和以前遇到的小棒图很像,可以把100元想象成一大捆小棒,把10元想象成一小捆小棒,把1元看成单独的一根小棒,那就相当于有1大捆小棒、3小捆小棒和5根单独的小棒.
（学生边说边在练习纸上画出示意图,如图3.）
图3
生还可以想象成正方体,把100元想象成一板小正方体,把30元想象成3竖条小正方体,5元就是5个单独的小正方体.
生我觉得这个问题和计数器问题也很像,100元就相当于百位上是1,30元就相当于十位上是3,5元就相当于个位上是5.
师你们真厉害,能把135元和小棒图、方块图、计数器联系起来思考.其实,不管是小棒、方块,还是计数器,都代表1个百、3个十和5个一.
教师引导学生发散思维,由135元联想到小棒图、方块图、计数器,并在此基础上聚合学生的思维,总结出这些联想的实质,促进了学生认知结构的完善.
参考文献：
［1］ 贲友林.此岸与彼岸Ⅱ——我的数学教学手记［M］.南京:江苏凤凰教育出版社,2015.
［2］ 张兴华.儿童学习心理与小学数学教学［M］.南京:江苏教育出版社,2011.
［3］ 郑毓信.数学思维与小学数学［M］.南京:江苏教育出版社,2008.
［4］ 赵南.儿童支点教育要义［M］.北京:光明日报出版社,2014.
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