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层次分析法计算指标权重的教学难点
中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16871/j.cnki.kjwhb.2018.02.029
摘 要在风险评估中经常使用层次分析法来计算指标的权重.层次分析法计算指标的公式较多,在使用中容易出现错误.通过对判断矩阵分析,发现其列向量本质上是权重向量,并与和法确定权重的算法相联系；由算术平均值到几何平均值,得到根法计算权重的本质；由一致性指标计算公式的分子和分母的特征,提出一致性指标公式的记忆方法；由判断矩阵特征方程的分量形式,提出最大特征值公式的记忆方法.实践表明,在教学中,明白这些本质问题,就能够提高学生的学习兴趣,也能够提高教学效果.
关键词层次分析法指标权重判断矩阵一致性检验教学难点
The Teaching Difficulties for Calculating Index Weight byAnalytic Hierarchy Process // Yang Yusheng
Abstract The analytic hierarchy process (AHP) is often used tocalculate the weight of the index in risk assesent. There aremany formulas to calculate the index by AHP, and sometimes it iseasy to make mistakes. By analyzing the judgement matrix, it isput forward that the essence of the column vector is the indexweight vector, and then the calculation method of the weight vectordetermined by the sum method is derived. From the arithmeticmean value to the geometric mean value, the calculation methodof determining the index weight by the root method is induced.According to the characteristics of the numerator and denominatorof the consistency index, a memory method of consistency indexformula is put forward. The memory method of the maximumeigenvalue formula is also introduced from the component form ofthe characteristic equation of the judgement matrix. The practiceshows understanding these essential problems in the class teachingcan improve the students´ interest in learning and improve theteaching effect.
Key words analytic hierarchy process;weight of index;judgmentmatrix;consistency test;teaching difficulties
1 引言
确定指标权重是灾害风险综合评估的一个重要研究内容[1],主要方法有Delphi 法、专家会议法和层次分析法（AHP）等,其中最重要的是AHP[2-6].
我们在教学过程中发现学生能够了解AHP,但是在使用AHP计算指标权重时,对计算公式了解不清,有时还会用错.经过分析,我们发现主要原因是学生对AHP 的一些本质问题,如判断矩阵列向量的特征、一致性指标、最大特征值公式以及和法与根法的本质等没有掌握.如果把握住这些本质问题,则AHP 的计算公式将容易掌握.而这些问题在相关的专著和文献中涉及较少.
在多年的教学中,我们对AHP 的本质进行研究,发现了AHP判断矩阵的一些特征以及计算公式的记忆技巧.本文总结了AHP 计算指标权重教学中的一些难点问题,并是把这些方法应用在AHP教学中,取得了较好的教学效果.
2 判断矩阵列向量的特征
判断矩阵的特征是AHP 近似计算指标权重算法的基础.在一般的文献中,通常只说明判断矩阵元素的特征和判断矩阵的特征[2,3].例如,关于元素的特征有非负性、对角线元素为1、互反性以及一致性,判断矩阵A 的特征是AW等于nW等.通过元素特征说明一致性检验的重要性,通过矩阵特征说明指标权重的计算方法.实际上,指标权重一般是用和法或根法等来近似计算的,而学生对这种近似计算方法不太理解.其实只要了解判断矩阵列向量的特征,就能够理解AHP 计算权重的近似方法的实质.因此要特别强调判断矩阵列向量的特征.
判断矩阵的第j 列为Aj等于 [a1j,a2j, …,anj]T等于[W1/Wj,W2/Wj,…,Wn/Wj]T,即对于第j 个列向量的每个元素,其分子分别为每个指标的权重,分母为第j个指标的权重.对每一列来说,分母都是相同的,因此判断矩阵的每一列的对应元素应该是成比例的.若把每一列都进行归一化,则每列应该是相同的,其中的元素应该为W1、W2、…、Wn.这就是判断矩阵列向量的特征,是AHP 近似计算权重算法的理论基础.
3 判断矩阵的一致性检验
在AHP中,一般采用1-9的标度方法来构造判断矩阵[2,3].在构造判断矩阵后,需要进行一致性检验.因为判断矩阵的元素取值为1、2、…、9 或1/2、1/3、…、1/9,不可能出现其他数值.例如,假设第i 个指标比第k 个指标明显重要,则aik等于5；第j 个指标比第k 个指标稍重要,则aik等于3；在这种情况下,若比较第i 个指标与第j 个指标,aij等于5/3 才是合理的.但是依据AHP 判断矩阵的构造方法,aij 不可能为5/3,最相近的取值只能为2或3.此时就不满足一致性条件.
所谓判断矩阵的一致性,是指判断矩阵的元素之间满足关系aij＝aik /ajk（i,j,k＝1,2,…,n）.当判断矩阵满足一致性时,其特征值为n.而根据矩阵特征值的性质,可以知道n 阶矩阵有n个特征值,其和等于对角线元素之和.因此,特征值n 为该矩阵的最大特征值,即λmax等于n,其余的n-1 个特征值应均为零.
AHP的判断矩阵通常不是一致性矩阵,因此其特征方程的特征向量严格说来是不能作为权重向量的.但是为了能用AHP 近似计算权重,即把判断矩阵A 的最大特征根λmax对应的特征向量作为指标的权重向量,需要把判断矩阵的不一致程度限定在一定的容许范围之内.这就是一致性检验问题.
对于不具备一致性特征的判断矩阵,可以证明其最大特征值λmax>n.λmax 比n 大得越多,判断矩阵A 的不一致程度越严重,用特征向量作为权重向量的误差越大.因而可以用λmax-n 数值的大小来衡量判断矩阵A 的不一致程度.Saaty 将CI等于(λmax-n)/(n-1)定义为一致性指标.CI等于0时判断矩阵A 为一致阵；否则判断矩阵A 就不是一致阵.CI越大,说明判断矩阵A 的不一致程度越严重.
由于判断矩阵A 的n 个特征根之和等于n,所以n－λmax 相当于去掉λmax 之外的其余n-1 个特征值的和,那么CI 的分子λmax－n 就是另外的n-1 个（刚好就是分母）特征值的和的绝对值,故CI 相当于去掉λmax之外其余n-1 个特征根的平均值的绝对值.明白了这层含义,这样一致性指标的计算公式就容易记忆了.
有了一致性指标,再找到对应的随机一致性指标RI,就可以对判断矩阵的一致性进行检验.
4 最大特征根的近似计算方法
AHP 计算的核心问题是计算判断矩阵A 的最大特征向量W.在一般情况都是采用近似方法计算的.常用的计算特征向量的方法是和法与根法.
4.1 和法
和法的基本原理是判断矩阵的列向量特征：若判断矩阵满足一致性要求,则其每一列的归一化以后都是权重向量.若判断矩阵不满足一致性要求,但是符合一致性检验要求时,则其每一列归一化以后都应该与权重向量近似,因此可以取判断矩阵的归一化的列向量作为权重向量.为了使结果更精确,通常取判断矩阵的列向量归一化后的平均值作为权重向量.这就是和法计算权重的本质.
4.2 根法
在和法的计算类似,根法也涉及到判断矩阵归一化的列向量取平均.和法的本质是列向量取算术平均值,把其中的算术平均值换成几何平均值就变成了根法.所以根法的本质就是列向量取几何平均值.因此根法的计算步骤与和法基本类似,只不过是把其中的计算列向量的算术平均值变为计算几何平均值,详细的计算过程可以参考相关专著[2,3].
用这种方法研究特征向量的近似计算方法,一是便于理解,二是便于记忆,能够起到事半功倍的效果.
5 最大特征值的计算方法
使用和法或根法得到权重向量W 以后,需要对判断矩阵的一致性进行检验.因此,AHP 另一个的核心问题是计算判断矩阵A 的最大特征值λmax.最大特征值的计算公式为
式中(AW)i表示向量AW 的第i 个元素.
最大特征值也可以从判断矩阵的特征值方程得到的.考虑特征方程AW等于λmaxW 的第i 个元素,可以得到
(AW)i等于ai1Wi+ai2Wi+…+ainWi等于λmaxWi
因此最大特征值可以写成
λmax 等于(AW)i/Wi,i等于1,2,…,n
这样就得到n 个λmax.把它们再相加,取平均值,就得到了最大特征值的计算公式.
从这里也可以看出,最大特征值的实质也是求平均值,这样也就容易记住最大特征值的近似计算方法.
6 结论
在AHP 的教学实践中,我们总结判断矩阵的特征和AHP近似计算权重的公式本质,学生依据判断矩阵列向量的性质可以明白和法计算权重的算法,从算术平均值到几何平均值可以明白根法计算权重的本质；从一致性指标计算公式分子与分母的本质,能够掌握一致性指标的实质；从判断矩阵特征方程的分量形式,能够掌握最大特征值的计算方法.使用本文提供的方法,学生将能够了解AHP 的计算公式和本质,减轻了学习负担,增强了学习兴趣.实践也表明证明这种教学方法,效果非常明显.
参考文献
[1] 黄崇福.自然灾害风险分析与管理[M].北京:科学出版社,2012.
[2] 谭跃进,陈英武,罗鹏程.系统工程原理[M].北京:科学出版社,2012.
[3] 汪应洛.系统工程[M].第5 版.北京:机械工业出版社,2016.
[4] 曹茂林.层次分析法确定评价指标权重及Excel计算[J].江苏科技信息,2012(2):39-40.
[5] 倪少凯.7 种确定评估指标权重方法的比较[J].华南预防医学,2002,28(6):54-55,62.
[6] 李因果,李新春.综合评价模型权重确定方法研究[J].辽东学院学报:社会科学版,2007,9(2):92-97.
编辑李金枝
层次分析法论文范文结:
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