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整合到意义教学中，理解余数大小不再多余
［摘 要］除法是四则运算中的难点,因为其算理和竖式书写格式与其他运算截然不同,因此,学生接受起来就比较困难,再加上余数的出现,更是增加了学生的理解难度.余数就是剩余的不够整份的数,学生很难理解其比除数小的缘由.为了突破这个教学难点,教师尝试将余数小于除数的规律的教学放到竖式教学之前,重点落在除法意义和竖式书写上,将余数大小的规律融入情境,整合到意义的理解上.
［关键词］余数；除数；带余除法；意义；大小
［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2018）32-0016-02
“有余数的除法”安排在北师大版教材二年级下册,例1是关于表内除法的竖式,例2是揭示带余除法的意义,例3是总结归纳余数小于除数的定律.教学例2和例3后均安排了“做一做”,此部分内容被划分为一课时.细细分析,这样划分课时尚欠妥当.因为学生在列竖式时就会碰到余数大于除数的问题,如果没有学习例3,说理就会不充分.如果将余数规律前置,又会造成落实不到位.那么,是否可以将余数小于除数的规律的教学放到竖式教学之前？本文将对此做深入的探讨.
—、余数难学的缘由
学生对带余除法的横式格式并不陌生,被除数、除数、商的意义都未变,可直接从整除除法算式中迁移过来,而余数是新生事物,于是教学重点落在余数的意义上.余数是一个新概念,有着特定的内涵和外延,概念的内涵是本质特性.对于三年级的小学生来说,余数的内涵可表征为平均分后剩下的零头；外延是指概念所指代的所有元素.如,若除数为5,余数则有可能为1、2、3、4；若除数为7,余数则有可能为1、2、3、4、5、6简言之,余数要比除数小.
除法竖式是全新的算式样态,易受加减竖式的负面影响.能否用演绎推理法,重新解读带余除法的竖式呢？
（1）除法竖式的形式为何呈现阶梯式？如果没有余数存在,除法竖式就和加减乘法一样.除法竖式的阶梯形,完全是为了处理余数的循环运算,它不但展示了商数和除数的积,又设计出空白处书写余数,更能体现余数的地位和价值.
（2）如果先学表内的整除除法竖式,学生就只是根据乘法口诀一步到位得出商数,“商×除数”求积这一步的思考过程容易被架空.先学带余除法,则可避免这种情况.
（3）余数比除数小的根本原因需要追溯到余数的意义.教材在阐述此规律时,只是单一地举出除数都是5的例子,就马上得出结论,例证不够丰富,说服力不够强,对于“除数是4、6、9时,余数可能是哪些数？”这个问题,有些学生就会拿余数和商数进行比较,误认为余数比商小就行.
教材中三个例题所涉及的三个知识点不是孤立的,应该联系起来.横式和竖式都能展现带余除法的意义,学习余数大小限制的规律应该安排在充分认知带余除法意义之后.
从课的容量来考虑,应跳过竖式学习,直接进入带余除法的内容.
基于以上理论,我做了教学改进：重点落在除法意义和竖式书写上,将余数大小的规律融入情境,整合到意义的理解上.
二、整合资源,在意义中体现大小差异
习题1：光头强在林场里砍伐了15棵樟树,每辆卡车装载5棵,可以装载几卡车？你是怎么想的？15、5和3分别属于算式中的什么数？（复习除法算式和各要素意义）习题2：光头强后来又砍伐了19棵松树,每辆卡车装载5棵,可以装载几辆卡车？圈一圈,并用算式表示.（用圈画的形式,将生活经验调用到数学算术上）
思考：为什么不把最后4棵松树也圈一圈？最后4棵如何反映到算式里？
学生的方法：5× 3+ 4 等于 19,19 ÷ 5等于 34,等等.师（引导学生着重研究除法）：这个除法算式与以前学过的整除除法略有不同.
【评析：第一次对比：有余数和没有余数.讨论如何表示和处置剩下的4棵松树,一是为了揭示余数的意义；二是得出如何在算式中演示.通过讨论,突破原有的认知局限,突出余数的内涵：平均分剩下的不够分一份的零头,必然要比一整份的数目小.】
练习：19棵松树,每车装载3棵,可以装载几卡车？还剩下几棵树？请先圈画再列式.
师：说说圈画的结果.刚才最后剩下4棵不够一份,为什么现在4棵又能分了？
【评析：这是第二次对比.通过对比剩下的棵数,引发学生的好奇心,从而得出“余数够不够分一份,要看具体除数是多少,也就是一份的数额”.】
师：余数是怎么产生的？
【评析：改变除数,集中讨论“余下4棵”能不能再圈的问题,在对比中突出余数和除数的关系,使学生知晓余数的产生过程.】
师（出示图1）：带余除法也有竖式.你能结合圈画过程说说其中每个数的意义吗？
【评析：为了在算法中渗透算理,先让学生自行探讨竖式的意义,结合圈画理解每个数的意义,从而达到理解余数的目的.】三、练习巩固,内化余数的大小定律
习题1：先圈画,再写出横式和竖式.
（1）12块巧克力,每人分5块,可以分给几个人？还剩几块？
（2）12块巧克力,每人分4块,可以分给几个人？
师（重点分析第（2）题）：分配之后有剩余吗？竖式中两次出现数字12,两个12意义一样吗？余数为什么是0？这其实就代表整除.
【评析：第（1）题是为巩固带余除法的运算,第（2）题则是通过带余除法揭示整除的本质.这样,把整除整合到带余除法里,重点辨析竖式中2个12的含义和区别,以及余数是0的特殊情形,就能说明整除是一类特殊的带余除法的事实.】
习题2：请你猜测图中的小动物各代表数字几.
师（重点解说第（2）题）：这题有多种填数方案.我把大家的方案展示如下,请指出错误的竖式.
师：观察框内的两个竖式,请你通过画图的方式说说为什么错了.
【评析：把竖式转换成图形,并指出错误,既是梳理和总结知识,又是对新知的应用,为总结规律提供了丰富的实证,诠释了余数与除数的关系.】
综上所述,要想在有限的时间内用科学合理的课时量完成带余除法的教学,并让学生深刻理解余数要比除数小的原理,教师必须调整教学顺序,整合教学资源,这样才能取得事半功倍的效果.
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