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数学教学目标问题化策略

摘要：在数学教学中,把教学目标转化为恰当的问题,用问题来驱动学生主动学习,是一种值得肯定的教学方法.其具体的策略有：将概念定义目标转化为抽象性问题,变介绍为生成；将定理法则目标转化为递进性问题,变告知为发现；将析题解题目标转化为追问性问题,变讲解为交流；将方法体系目标转化为反思性问题,变师结为生括.

关键词：教学目标问题设计学生主体

教学目标的达成既不是通过投影片的播放来实现的,也不是通过教材的朗读来实现的,而应该在教师设置的教学活动及氛围中自然实现.在数学教学中,把教学目标转化为恰当的问题,用问题来驱动学生主动学习,能将学生推到解决问题的前端,凸显学生的主体地位,是一种值得肯定的教学方法.那么,如何有效地将教学目标转化为课堂问题呢？下面,结合高中数学教学的实践体会与研讨启发,谈谈笔者的一孔之见,与广大同仁交流.

一、将概念定义目标转化为抽象性问题,变“介绍”为“生成”

数学概念是数学知识的核心,也是数学思维的起点和数学认知的基础,在数学教学中具有重要的地位.数学概念的产生与发展应是合理的、水到渠成的.如果直接将数学概念介绍给学生,将会掩盖其产生与发展的自然性,得不到学生理智与情感上的共鸣.因此,数学概念的教学宜设置恰当的问题情境,配上合理的抽象性问题,促使相关概念自然生成.

【案例1】“等差数列的定义”教学设计

可以先列举几个实例,再用一个问题引导学生从中抽象出等差数列的概念.比如：

实例 (1)第25届到第31届奥运会举行的年份依次为1992、1996、2000、2004、2008、2012、2016；

(2) -堆钢管共5层,最下面一层是5根,上面一层总比下面一层少1根,则从下往上数每层的根数分别为5、4、3、2、1；

(3)某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟,收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,则话费按从小到大的次序依次为0.2、0. 2+0.1、0.2+0.1×2、0.2+0.1×3……：

(4)如果1年期储蓄的月利率为1.65‰,那么将10 000元分别存1个月、2个月、3个月……12个月所得的本利和依次为10 000+16.5、10 000 +16.5×2、10 000+16.5×3……10 000+16.5×12.

问题1上述数列有何共同特点？如何表示出这样的特点？

问题1的前一半是教材提供的范问,具有很好的引导作用.缀上后一半之后,能给学生创设一定的思考与探究空间,因为至少有以下几种方法可以表示出这样的特点：(1)文字表示法,即从第二项起,每一项与前一项的差为同一个常数.这种表示方法可以自然引出等差数列的定义.(2)符号表示法,即当

“理解等差数列的概念”是本节课的一个知识目标.对于这一目标的达成,上述教学设计是通过设置一个抽象性问题来实现的.这样做不仅能够加深学生对等差数列概念的理解,而且能够实现概念的多元表征.

二、将定理法则目标转化为递进性问题,变“告知”为“发现”

特级教师魏书生启发我们：“知识是‘生长’出来的,学生的学习过程是知识不断积累和能力不断提高的过程；新知识的学习是在原有基础上进行的‘老枝发新芽’,学生对新知识的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并融入原有的知识体系之中的.”建构主义也认为,学习是学生经验体系在一定环境中自内而外的“生长”,是以学生原有的知识经验为基础实现知识的建构.所以,对于数学新知识（尤其是定理法则等）的教学,如果让其从旧知识与经验里“生长”出来,将显得十分自然且易于被学生所掌握.在学习新知识时,学生往往并不缺少必要的旧知识与经验,但是,他们为什么不能主动地建构出新知识来呢？其主要原因就是缺乏必要的问题引导.

【案例2】“零点存在定理”教学设计

可以设置如下几个问题来引导学生建构和理解零点存在定理.

问题2 图1～图5所示的曲线中哪些可以看成函数的图像？

问题3你从中发现函数何时在区间(以,6)上一定有零点？

问题4我们可以用怎样的数学语言来表达上述结论？

问题2创设了一个问题情境,意在增强学生的直观性体验；问题3意在引导从多个实例中寻找一般规律,把感性认识上升为理性认识；问题4意在引导学生建构出零点存在定理.

“理解零点存在定理”是本节课的一个知识目标.对于这一目标的达成,上述教学设计是通过3个递进性问题的引导来实现的.毫无疑问,这样的发现要比直接告知来得有意义.

三、将析题解题目标转化为追问性问题,变“讲解”为“交流”

帮助学生学会解题是数学教学的一个重要目标,引导学生进行解题也是检测学生对有关数学概念、定理、法则等理解与掌握情况的重要依据,所以解题教学是数学教学的重要一环.在解题教学中,师生之间需进行深入的思维交流,适时追问便是一种较为有效的教学手段.

【案例3】“圆与圆的位置关系”教学设计

本节课上,明确了两个圆具有哪几种位置关系之后,接下来的任务就是运用解析几何的方法判断两个圆的位置关系,这是本节课的核心内容.此时,可以提出如下问题：

问题5 如何判断两个圆的位置关系？试以下面的两题为例进行探究.

对此,学生容易想到的方法是“判断圆心距d与两圆半径R、r之间的关系”.在学生给出了上述方法（习惯上称之为“几何法”）之后,可作如下追问：

追问1 类比直线与圆的位置关系的处理方法,你还有其他想法吗？

追问2对于第(1)小题,两圆方程相减,所得结果是一条直线,且无论代回到哪一个圆的方程中,所得结果都是相切的,说明该直线有什么样的特殊性？

追问3在第(2)小题中,两圆方程相减所得的直线方程无论代回到哪一个圆的方程中,所得结果都是相交的,此时你有怎样的猜想？如何验证你的猜想？

追问1意在引导学生运用“代数法”来处理,即将两圆方程相减,得一条直线方程,再代回到一个圆的方程中,消元后得到一个一元二次方程,看其判别式△的正负情况.对于第(1)小题,可得△等于O,即两圆有且只有一个公共点,可以断定两圆是相切的,但是不能判定是外切还是内切,而要结合图形的具体情况；对于第(2)小题,可得△>O,即两圆有两个不同的公共点,可以断定两圆是相交的.此时,教师可以补充：类似地,当△<0时,两圆无公共点,但是不能判定是外离还是内含,也要结合图形的具体情况.还可以总结：代数法是可行的,但是对于有些位置关系来说,还要结合其他手段来判断.在此基础上,追问2和追问3意在进一步引导学生发现△等于O时两圆方程相减所得的直线就是两圆的公切线；猜想△>O时两圆方程相减所得的直线就是两圆公共弦所在的直线,并通过设出两圆交点坐标的方法来验证.

“运用解析几何的方法判断两个圆的位置关系”是本节课的重要技能目标.解析几何中处理与圆相关的问题通常有两类方法,即几何法与代数法.因为圆的特殊性,在运算上通常是几何法更为简便,所以很多教师习惯上更重视几何法的教学,对代数法只是简单提及或者干脆略去不讲.事实上,代数法更能体现解析几何的本质,而且可以为后面进一步学习“圆锥曲线与方程”埋下伏笔.上述教学设计通过三次适时的追问,不仅介绍了代数法,体现了解析几何的本质,而且顺利地过渡到了后面的常用结论,从而完善了学生的知识结构,并且提升了学生的理解层次.

四、将方法体系目标转化为反思性问题,变“教师总结”为“学生概括”

提高学生解题能力的一个重要途径是帮助其提炼解题方法、构建方法体系.如果这些工作都由教师来完成,那么学生难免会成为“局外人”,缺少深入的体会,难以做到灵活运用.设置反思性问题,促使学生自我回顾和总结,可以引导学生参与其中,进而达到自然升华的效果.

【案例4】“等差数列的定义”教学设计后续

按照苏教版高中数学教材的编写意图,在“等差数列”第1课时的教学中不一定要进行“等差数列通项公式”的教学.但是,在等差数列的定义建构之后,可以从其定义的符号语言出发提出如下问题：

问题6你能判断下列数列是否为等差数列吗？你从中发现了什么？

另外,在本节课的总结阶段,可以提出如下问题：

问题7 通过本节课的学习,请回顾一下：判断等差数列的常用方法有哪些？

问题6的前一半是想让学生运用等差数列定义的符号语言来判断所给数列是否为等差数列；后一半是想借机作一个升华,引导学生猜想出“形如an等于 Pn+q(P、q为常数)的数列一定是等差数列”这个结论.为了给下节课的“通项公式”作铺垫,这里还可以顺势介绍（不作深入研究）如下结论：事实上,反之也成立,即等差数列的通项公式一定也是形如an等于 Pn+q(p、q为常数)的,所以其图像是一群孤立且共线的点.

“运用等差数列的定义来解决问题”是本节课的一个能力目标.上述教学设计在问题1的基础上增添了问题2这个反思性问题,能够帮助学生构建判断等差数列的方法体系,提升解决问题以及概括提炼的能力.

本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点自筹课题“高中数学课堂实现教学目标的问题驱动策略研究”(编号：B-bj2015j02j261)的阶段性研究成果之一.

参考文献：

[1]王克亮,在问中悟在问中探在问中明——以问促学的做法点滴[Jl.数学通报,2013

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