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例析二次函数中平行四边形的存在性问题
穆海燕
山西省大同市第六中学校 (037000)
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据"平行四边形的一组对边平行且相等"或"平行四边形的对角线互相平分"来解决．本文举例说明如何解决抛物线中平行四边形的存在性问题.
1三个定点,一个动点,探究平行四边形的存在性问题
例1.如图1所示,在平面直角坐标系中,A（－1,0）,B（3,0）,C（0,2）,在平面内是否存在一点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点D的坐标；若不存在,请说明理由.
分析：当以A﹑B﹑C﹑D为顶点的四边形是平行四边形时,应分三种情况讨论.（1）AB,AC为平行四边形的一组邻边；（2）AB,BC为平行四边形的一组邻边；（3）BC,AC为平行四边形的一组邻边.也可以从对角线的角度分三种情况来讨论.（1）BC为平行四边形的一条对角线；（2）AC为平行四边形的一条对角线；（3）AB为平行四边形的一条对角线.
解：方法1：利用平行四边形对边平行且相等来解决问题.
∵A（－1,0）,B（3,0）,C（0,2）,∴OA等于1,OC等于2,AB等于4.
分三种情况：
（1）如图2,当四边形ABDC为平行四边形（即BC为平行四边形的一条对角线）时,DC∥AB,DC等于AB等于4,∴ D1（4,2）；
（2）如图3,当四边形ABCD为平行四边形（即AC为平行四边形的一条对角线）时,DC∥AB,DC等于AB等于4,∴ D2（－4,2）；
（3）如图4,当四边形ADBC为平行四边形（即AB为平行四边形的一条对角线）时,AC∥BD,AC等于BD,∴∠CAB等于∠ABD.过点D作DE⊥AB于点E,∴∠DEB等于90°.
∴∠DEB等于∠AOC等于90°.∴△DEB≌△COA.∴BE等于AO等于1,DE等于CO等于2.∴ D3（2,－2）.
综上,点D的坐标为（4,2）、（－4,2）或（2,－2）.
方法2：利用平行四边形对角线互相平分,应用中点坐标公式来解决问题.分三种情况：
（1）如图2,BC为平行四边形的一条对角线,设BC的中点为点F,∵B（3,0）,C（0,2）,∴F（3/2,1 ）.∵F为AD的中点,A（－1,0）,∴ （4,2）;
（2）如图3,AC为平行四边形的一条对角线,设AC的中点为点G,∵A（－1,0）,C（0,2）,∴G（-1/2 ,1）.∵G为BD的中点,B（3,0）,∴ （－4,2）;
（3）如图4,AB为平行四边形的一条对角线,设AB的中点为点H,∵A（－1,0）,B（3,0）,∴H（1,0）.∵G为CD的中点,C（0,2）,∴ （2,－2）.
综上,点D的坐标为（4,2）、（－4,2）或（2,－2）.
【方法归纳】1.中点坐标公式：在平面直角坐标系中,若点M是线段AB的中点,A（ x1,y1）,B（x2,y2 ）,则点M坐标为（
当构成平行四边形的四个点中,有三个定点,一个动点时,可以利用平行四边形对边平行且相等的性质,转化为线段或点的平移解决问题；也可以利用平行四边形对角线互相平分的性质,应用中点坐标公式解决问题.
2两个定点,两个动点,探究平行四边形的存在性问题
例2.如图5,抛物线 y等于x2+bx+c与直线交于A、B两点,其中点A在 轴上,点B的坐标为（－4,－5）,点P为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P作PC⊥x 轴于点C,交AB于点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）以O、A、P、D为顶点的平行四边形是否存在？若存在,求点P的坐标；若不存在,说明理由.
分析：本题有两个定点O,A,两个动点P,D.∵PC⊥x 轴于点C,交AB于点D,∴PD∥OA.∴当以O、A、P、D为顶点的平行四边形时,PD与OA是平行四边形的一组对边.根据平行四边形对边相等即可解决问题.
①当点P在点D下方时,如图5,PD等于12m-3-(m2+92m-3) 等于-m2-4m.
例3.如图7所示,在平面直角坐标系中,抛物线经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,－1）三点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q在y 轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.
分析：本题有两个定点A,B,两个动点P,Q.本题与例2的区别是不能判定PQ与AB平行.此时,当以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形时,应分情况讨论：（1）AB为平行四边形的边；（2）AB为平行四边形的对角线.
【方法归纳】当AB为平行四边形的边,且平行于坐标轴（或落在坐标轴上）时,点P可以看作是由点Q平移得到的,平移的距离为线段AB的长度.当AB为平行四边形的对角线时,线段AB的中点H也是线段PQ的中点,应用中点坐标公式即可解决问题.
例4.如图10,抛物线y等于x2-2x-3与 x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,与 y轴交于点D,点C在抛物线 y等于x2-2x-3上,且C的横坐标为2.
（1）求A,B,C三点的坐标；
（2）点G在抛物线上,在 x轴上是否存在点F,,使A,C,F,G为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在,请说明理由.
分析：本题有两个定点A,C,两个动点F,G.本题与例3的区别是：以两定点A,C为端点的线段AC与坐标轴既不平行,也没有落在坐标轴上.但是点A,F都在x 轴上,即线段AF落在坐标轴上.此时,当以点A,C,F,G为顶点的四边形是平行四边形时,应分情况讨论.方法1：以两个定点为端点的线段AC展开讨论,即以AC为平行四边形的边或对角线讨论；方法2：以落在坐标轴上的线段AF展开讨论,即以AF为平行四边形的边或对角线讨论.
【方法归纳】方法1是以两个定点构成的线段AC展开讨论：AC为平行四边形的边或对角线；方法2中,由于点A,F都在 轴上,虽然点A为定点,
例5.（2015荆门）如图19,在矩形OABC 中,OA等于5,AB等于4,点D为边AB上一点,将△BCD 沿直线CD折叠,使点B恰好落在OA边上的点E处 ,分别以OC,OA所在的直线为x 轴, y 轴建立平面直角坐标系.
（1）求OE的长及经过O,D,C三点的抛物线的解析式；
（2）若点N在（1）中的抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出M 点的坐标；若不存在,请说明理由.
分析：本题有两个定点C,E,两个动点M,N.本题中以两个定点为端点的线段CE与坐标轴不平行,而例3中以两个定点为端点的线段AB落在坐标轴（x 轴）上.当CE为平行四边形的边,但不平行于坐标轴（或落在坐标轴上）时,经常要构造全等三角形,应用全等三角形对应边相等的性质,通过设一个动点的坐标,从而发现两个动点坐标之间的关系来解决问题.
【方法归纳】
1.两个定点A,B,两个动点P,Q,探究平行四边形的存在性问题时,（1）当AB∥PQ时,利用平行四边形对边相等的性质,则AB等于PQ,根据题意列方程即可解决问题；
（2）当不能判定AB∥PQ时,要分情况讨论.①AB为平行四边形的边；②AB为平行四边形的对角线.
2.若A,B,P,Q四个点中有两个点A,B落在坐标轴上（或平行于坐标轴）时,可以是两个定点,也可以是一个定点,一个动点,此时以AB为平行四边形的边或对角线展开讨论更简单.
3一个定点,三个动点,探究平行四边形的存在性问题.
例5.（2016茂名）如图23,抛物线y等于-x2+bx+c 经过A（－1,0）,B（3,0）两点,且与 y 轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交 x 轴于点E,连接BD．
（1）求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点,当PE等于PC时,求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下,过点P作PF⊥ x 轴于点F,点G为抛物线上一动点,点M为x 轴上一动点,点N为直线PF上一动点,当以点F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标．
分析：本题中有一个定点F,三个动点M,G,N,其中点F,M都在 x 轴上,所以MG⊥ x 轴.当以点F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时,FM与MG是正方形的一组邻边,所以FM等于MG.
例6（2016威海）如图26,抛物线 y 等于ax2+bx+c经过点A（－2,0）,点B（4,0）,点D（2,4）,与 y轴交于点C,作直线BC.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点M在 y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点.若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
【方法归纳】当出现三个动点,一个定点时,要结合题目的具体情况进行分析.若四个点A,B,C,D中有两个点,A,B都落在坐标轴上时,常以AB展开讨论：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线.同时还要结合题目的条件来解决问题.
解决抛物线中平行四边形的存在性问题,分三步走：（1）分类；（2）画图；（3）计算.应用平行四边形、三角形全等的性质,数形结合解决问题.
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