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关于哥德巴赫猜想的证法路径与其关联理念
古 工,容幸福,王燕青
（太原理工大学机械工程学院,山西 太原 030024）
摘 要：探讨了哥德巴赫猜想关联的自然数的基本知识、哥德巴赫猜想的证法基础、哥德巴赫猜想的证法路径及其关联的例题分析,提出了评判哥德巴赫猜想能否成立的“证法路径”,得到了评判哥德巴赫猜想“有无解答”的判据.
关键词：哥德巴赫猜想；古叶猜想；哥古猜想；古田猜想；古由猜想
中图分类号：O156 文献标志码：A DOI：10.3969/j.issn.1674-9146.2016.05.026
收稿日期：２０16－01－25；修回日期：２０16－03－29
作者简介：古 工（1933-）,男,山西孝义人,教授,主要从事金属切削机床教学研究,E-mail：rqs5619@163.com.
中国古代有句古言：“人之为学,有难易乎？学之,则难者亦易矣；不学,则易者亦难矣”.中国近代有句近语：“事物的共性,寓其个性中”.中国当代有句当话：“课题证法可能在其解法之中”.人类社会随同大自然界处于持续发展之中,多种多样的说法、刊物、音像、图片等都会呈现出来,既供人听视,也供人分析,更供人发展.“昼夜循环、与时俱进,推陈出新、越来越好”,应是社会进展的大规律.笔者愿以此处引言探讨本文.
1 自然数的基本知识
整数中的自然数属于首项为1、公差为1的密排式等差数列.自然数可分两类：奇数类属于首项为1、公差为2的密排式等差数列.偶数类属于首项为2、公差为2的密排式等差数列.奇数类可分两型：奇素数型（奇质数）,例如1,3,5,7,11,13,17,19,23,29等,属于跳跃式等差数列.奇素数只能分解为两个因子（该数及1因子）.奇合数型（非奇素数）,例如9,15,21,25,27等,属于跳跃式等差数列,奇合数能分解为多于两个因子（剔去该数及1因子外尚有别的因子）.偶数类可分两型：偶素数型,仅有2这个数值；偶合数型,属于首项为4、公差为2的密排式等差数列.
任何偶数数值想要表达为两个自然数之“和”或“差”时,可有5种状态：配偶的两个数均为奇素数；配偶的两个数,一个为奇素数,一个为奇合数；配偶的两个数均为奇合数；配偶的两个数均为偶合数；配偶的两个数,一个为偶合数,一个为偶素数.哥德巴赫猜想所需配偶的两个数,应是两个奇素数.
2 哥德巴赫猜想的证法基础
目前,哥德巴赫猜想的内容表述可有：任何偶数（Z）都可表达为两个奇素数（y及x）之“和”,即有Z等于y+x的表达式.为了证明此式能否成立,笔者提供了第27页图1.
第27页图1中的奇数数列从左到右递增时,属于正序排列（按Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ……连续起来）；奇数数列从右到左递增时,属于逆序排列（按Ⅰ´,Ⅱ´,Ⅲ´……连续起来）.奇数数列中的各项数值,素数标注G,合数标注U.奇数数列中的各项数值,可被一系列的分割线分割为很多的单元小段（元段）,每一个元段内具有三项数值（边项、中项、边项）；每5个元段还可组成许多组段（例如Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ等；Ⅰ´,Ⅱ´,Ⅲ´等）.此处的这种分割线属于首项为0、公差为6的密排式等差数列（图中粗线所示）；紧靠分割线的两个“边项”数值,素数标注G,合数标注U；这样,图1中的各个元段就有三项数值、三行内容.
3 哥德巴赫猜想的证法路径
电视连续剧《西游记》中有句歌词“敢问路在何方,路在脚下”.当前,探讨哥德巴赫猜想的证法路径,路在何方？路在图1基础之上,故从图1开始探讨.图1中有个小例题：要求解出哥德巴赫猜想中的Z等于y+x等于30中的y及x之值.求解时采用两个标尺方法,上标尺为正序Ⅰ,下标尺为逆序Ⅰ´,利用上下标尺配偶求解.解得Z等于30等于1+29等于7+23等于11+19等于13+17等于17+13等于19+11等于23+7等于29+1等于y+x,计8个解答.其中y与x可以互换,反映其对称性,本质可称4对解答.例图中的（R/E）一行表达例题各列是否有解,R为有解、E为无解.若据此例拓展可知：当其上标尺不动、只是左右移动下标尺时,每次向左移动“一格”（一项）,Z值就会减少2值；每次向右移动“一格”（一项）,Z值就会增加2值.这样,依靠上下标尺间的相对移动,就可求得各个Z值的相应解答.若从图示位置,向左逐格移动下标尺时,将会获得Z等于28,26,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2的相应解答.若从图示位置,向右逐格移动下标尺时,将会获得Z等于32,34,36,38,40等的相应解答.
接着,分析图1中的规律.对于奇数数列的相邻两项来说,可有4种状态：G,G；G,U；U,G；U,U.正序或者逆序,都是如此；紧靠分割线的两个边项,也是如此.图1的图示位置中,正序Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ等各列中,各项数值的尾数都是相同的,例如：1,31,61等,尾数为1.29,59,89等,尾数为9.逆序Ⅰ´,Ⅱ´,Ⅲ´等各列中,各项数值的尾数都是相同的,例如：29,59,89等,尾数为9.1,31,61等,尾数为1.但是,各列数值的特性（素数G,合数U）却是不尽相同（有些是相同的,有些是不同的）.这样说来,按照哥德巴赫猜想的表达式Z等于y+x要求,应该选择正序数列与逆序数列进行配偶求解：例如图1所列Z等于30之例,这时应先确定两个标尺的相对位置,其方法可用两个标尺的某对数值之“和”定位（不别强调必须选择G,G定位,其实选择G,G；G,U；U,G；U,U定位均可）；只要两个标尺定位之后,就可评判Z值是否有解；凡是G,G相配者即是解答（R）；凡是G,U；U,G；U,U相配者即非解答（E）.
再者,鉴于奇数数列被分割为很多元段,各元段内的“中项”（剔去3之外）均为奇合数；各元段间的两个“边项”（或是紧靠分割线的两个“边项”）才有可能是奇素数,该两项有4种状态G,G；G,U；U,G；U,U.利用具有这样4种状态的两个奇数数列进行Z值的配偶、求解y值及x值时,能有16种状态路径,见图2.图2中的第1行及第2行设为上标尺的“边项”两项,第3行及第4行设为下标尺的“边项”两项；第1行与第3行配偶求解,第2行与第4行配偶求解；第5行的数值表示各列配偶时能够获得解答的路径个数,其中“零”表示该列“无解答”.图2中的第5行表明：虽有9列“无解答”,但有7列“有解答”.路径有解个数为8个；这8个解是特性推理所得的路径有解个数,不是Z值的真实有解个数；而是各种状态之时评判“有无解答”的判据,也是证明猜想“有无解答”的证法路径.从其第5行的结果表明,哥德巴赫猜想应是成立：首先因为路径解答个数等于1个或多于1个就可成立（现为8个）；也是因为奇素数（G）在相配的两个数列中都是有的,并且至少会有1个或多个解答属于G,G相配状态；这就表明每个Z值均可有解.据此,图2亦可称谓“猜想证法的一种可行路径”.例如Z等于30时的8个真实解答：属于图2第1列的有6个解答（30等于1+29等于11+19等于13+17等于17+13等于19+11等于29+1）,属于图2第3列的有1个解答（30等于7+23）,属于图2第5列的有1个解答（30等于23+7）.
4 哥德巴赫猜想的例题分析
例题：试问哥德巴赫猜想的Z等于10 000,y等于9 919～9 947时,是否有解？利用两个标尺方法求解,见图3.正序的y尺有5个元段,逆序的x尺有15个项值,由于y尺与x尺的元段分割线在图3中并不重合（或不一致）相距一项（一格）,就使y尺“中项”与x尺“中项”相距一格,又因“中项”数值是奇合数,形成两个“中项”相邻的两行内无解.图3中的Z值均为10 000整数,如果Z值减2时（Z等于9 998）,也会产生类似现象；如果Z值增2时（Z等于10 002）,由于y尺与x尺的元段分割线是重合的,两个元段“中项”处于同一行,不会因为两个元段“中项”造成相邻两行无解.剔去“中项”因素之外,如果某行无解时,定是该行内有奇合数；如果某行有解时,定是该行内均为奇素数.图3求得Z等于10 000等于9 929+71等于9 941+59两个解答,属于哥德巴赫猜想的解答（标注R者）；但是标注E者的各行数据,则是属于别的猜想之解：例如Z等于10 000等于9 919+81等于9 925+75等于9 935+65等于9 937+63等于9 943+57等于9945+55此处6个,属于“古由猜想”解答（y与x均为奇合数U）.例如Z等于10 000等于9 921+79等于9 923+77等于9 927+73等于9 931+69等于9 933+67等于9939+61等于9 947+53此处7个,属于“古田猜想”解答（y与x两者,一个奇合数U,一个奇素数G）.这样说来,图3中的各行,各有所属猜想
之解.如果图3中的算式改变为Z等于y-x时,相应Z值将是：9 838,9 842,9 846,9 850,9 854,9 858,9 862,9 866,9 870,9 874,9 878,9 882,9 886,9 890,9 894的首项为2、公差为4的等差数列.这种现象反映出个规律,如果设定一个偶数为“定值”时,这个定值偶数（Z）都可表达为一系列的两个奇数（y及x）之差.据此,创立了“古叶猜想”：任何偶数（Z）都可表达为两个奇素数（y及x）之“差”,即有Z等于y-x的表达式.鉴于此式与哥德巴赫猜想Z等于y+x的表达式,可以相互变换：Z等于y-（-x）等于y+x,Z等于y+（-x）等于y-x.据此,创立了“哥古猜想”：任何偶数（Z）都可表达为两个奇素数（y及x）之“差”或“和”,联合了“哥德巴赫猜想”与“古叶猜想”[1].
综上所述,在自然数的基本知识中,笔者引入了奇数、偶数、素数、合数、等差数列、跳跃式等差数列以及利用两个自然数之“差”或“和”表达任何偶数的概念.笔者在哥德巴赫猜想的证法基础与证法路径中介绍了哥德巴赫猜想的内容表述及其表达式Z等于y+x所需的Z,y,x参数的特性；提出了将正序奇数数列与逆序奇数数列都可分割为每个元段含有三项数值（边项、中项、边项）的特性,每个元段的中项（剔去3之外）都是奇合数,每个元段的边项才有可能是奇素数（有些是奇素数,有些是奇合数）；指出了奇数数列中的相邻两项,可有4种状态（G,G；G,U；U,G；U,U）,利用这样两个奇数数列的各一项之值表达任何偶数时,可有16种路径状态（证法路径）；得到了评判哥德巴赫猜想“有无解答”的判据,这是笔者的主要成果或重要特色之一.再者,笔者在例题分析中,探讨了哥德巴赫猜想的求解方法,以及其与古叶猜想、哥古猜想、古田猜想、古由猜想的关联之点.最后,鉴于有些内容尚属首次公开发表,更需诚请各位指正文中欠妥之处.
参考文献：
[1] 古工,容幸福.关于3个猜想的探讨——介绍哥古猜想、古田猜想、古由猜想[J].科技创新与生产力,2016(1):48-50.
（责任编辑 邸开宇）
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