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基于APOS理论的学生心智结构以《认识一位小数》一课教学为例
摘 要：APOS理论是美国数学家杜宾斯基提出的数学概念学习理论,从数学知识层面看,表现为数学概念形态的不断转换,即从具象概念逐步向表象概念转换,再逐步转换为抽象概念,最后转换为图式概念.该理论背后更重要的育人价值在于促进学生数学思维的不断发展,即从直观思维逐步向程序思维发展,再逐步发展为抽象思维,最后发展为图式思维,从而实现学生数学心智结构的不断完善.
关键词：APOS理论心智结构认识一位小数
APOS理论是美国数学家杜宾斯基（Dubinsky）提出的数学概念学习理论,其中A、P、O、S四个字母分别表示理解数学概念（建构意义）、建立心智结构（mental structure）的四个阶段,即活动（Action）、程序（Process）、对象（Object）和图式（Schema）.
在杜宾斯基看来,“一个人是不可能直接学习到数学概念的.更确切地说,人们透过心智结构使所学习的数学概念产生意义.如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构,那么他几乎自然就学到了这个概念；相反的,如果一个人无法建立起适当的心智结构,那么他学习数学概念几乎是不可能的.因此,教学的目的就在于帮助学生建立适当的心智结构”.
在实践层面,如何让学生经历心智结构建立的四个阶段,深入理解数学概念,建构意义,促进数学思维发展呢？本文试以《认识一位小数》一课的教学为例,谈谈自己的探索.
一、经历心智结构建立过程,逐层建构数学概念
（一）活动阶段：感知生活事例,体验认知背景,建构具象概念
“活动”是指“个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象”,不仅包括外在的具体动作,如操作、实验、演算等,还包括内在的思维活动,如回忆、猜想、判断等.通过“活动”,学生能亲身感受、体验数学概念的直观背景和结构关联,建构具象概念.
例如,《认识一位小数》一课,笔者紧密联系学生生活事例,让学生用没有分米刻度的米尺量黑板、课桌椅的长度,发现不能正好量完,有剩余,产生制造有分米刻度的米尺的需要；再用有分米刻度的米尺量课桌椅或较短物体的长度,用分米做单位说出所量长度.在此基础上,引导学生思考：如果还用米做单位,该怎样表示呢？唤醒、激发学生用分数和小数表示长度的认知需要,渗透分数和小数来源于实际生活中的有剩余或分不足；并引导学生尝试用分数和小数表示,开启他们直观思维的闸门,让他们不断积累活动经验,通过操作、思考、交流,得出如下活动成果：1分米等于110米等于0.1米,2分米等于210米等于0.2米……5分米等于510米等于0.5米……9分米等于910米等于0.9米.
（二）程序阶段：解析关键元素,发现共同属性,建构表象概念
当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后,就可以内化为一种称之为“程序”的心理操作.有了这种“程序”,个体就可以想象这个“活动”,而不需要通过外部的刺激；可以在头脑中实施这个程序,而不需要具体操作；还可以对这个程序进行逆转以及与其他程序进行组合.通过“程序”,学生能在头脑中对“活动”进行描述和反思,经历知识的类化和思维的内化,抽象出数学概念的共同属性,建构表象概念.
例如,《认识一位小数》一课,笔者引导学生思考：如果把有分米刻度的米尺看作1元钱,那么上面的长度可以看作什么？它们之间有什么关系？引导学生通过程序思维得出以下结论：1角等于110元等于0.1元,2角等于210元等于0.2元……5角等于510元等于0.5元……9角等于910元等于0.9元.还可以引导学生不断拓展思路：有分米刻度的米尺还可以看作什么？上面的长度又可以看作什么？它们之间又有什么关系？这样,学生就能在多次重复的程序化思维操作中,逐步感受到“分母是10的分数都可以转化成一位小数”这样的共同属性,并发现在转化时和单位名称没有关系,从而剔除“单位名称”这个非本质属性,得出结论：110等于0.1,210等于0.2……510等于0.5……910等于0.9.
（三）对象阶段：内化压缩属性,抽象概括意义,建构抽象概念
当个体能够把“程序”作为一个整体进行操作（抽象概括）时,这个程序就变成了一种心理“对象”,固化成一种静态的数学概念.通过“对象”,学生能进行认知压缩,进一步抽象概括出数学对象的本质属性,使其概念化,成为一个独立对象,这样就可以直接参与到新的数学活动中,有效降低新数学活动的认知负荷,提升新数学活动的思维层次.
例如,《认识一位小数》一课,笔者引导学生把上述结论作为研究对象进行比较分析,内化压缩共同属性,进一步抽象概括出：十分之几就是零点几,零点几就是十分之几.这样就将上面十分之几表示成零点几的过程压缩、概括成一般意义上的一位小数概念.
（四）图式阶段：集群符号模型,完善心智结构,建构图式概念
当个体对“活动”“程序”和“对象”进行有机整合,在头脑中产生综合关联的认知结构时,“图式”的心智结构就初步建立了.当然,“图式”还需要在后期的实践应用中不断完善和修正.通过“图式”,学生可以实现数学概念结构化,并在后续数学学习中不断建立与其他“图式”的联系,不断完善和丰富“图式”的内涵和外延,建构更综合的“图式”心智结构,不断深化数学知识结构,提升数学思维品质.
例如,《认识一位小数》一课,笔者利用长方形模型和数轴等图像表征（如图1）,引导学生从0.1、0.2、0.3……0.9数到1.0、1.1、1.2……并结合图形表征进行意义理解,将一位小数从“零点几”拓展到“几点几”,并建构一位小数的完整样态和符号模型：□10等于□.□.
图1
最后,通过“一模一样”“一模多样”和“多模一样”等变式将一位小数的结构模型应用到生活世界,解决日常生活中的简单实际问题；并进一步将一位小数的结构模型拓展延伸到探究两位小数、三位小数……的结构模型中去,让学生通过认识一位小数类比出两位小数、三位小数……从而整体建构小数的结构模型.实践应用与拓展延伸内容设计如下：
（1）“一模一样”：说一说,一个鸡蛋8角,是（）元,一个西瓜8元5角,是（）元.
（2）“一模多样”：写一写,桌面宽5分米,是（）米,手机宽5厘米,是（）分米.
（3）“多模一样”：填一填,3分米等于（）米,3厘米等于（）分米,3毫米等于（）厘米.
（4）拓展延伸：当物体的长度不是整分米时,能用米做单位更准确地表示吗？
此外,需要指出的是,理解数学时,建立心智结构的四个阶段构成了循环递进式结构关联,但也不是一成不变的.在教学实践中,学生可能出现在某几个认知阶段颠倒或认知阶段重复的现象.
二、反思数学概念建构形态,明晰数学思维发展脉络
APOS理论从数学知识上看,表现为数学概念形态的不断转换,即从具象概念逐步向表象概念转换,再逐步转换为抽象概念,最后转换为图式概念.其背后更重要的育人价值在于促进学生数学思维的不断发展,即从直观思维逐步向程序思维发展,再逐步发展为抽象思维,最后发展为图式思维（模型见图2）.
图2
(一)直观思维
“小学生的数学思维从直观思维开始,连接生活经验和亲身体验,在生活情境中抽象出数学问题,让生活现象转化为认知对象,不断积累直观活动与思维经验.”例如,学生借助没有分米刻度的米尺这样的直观工具,去测量黑板和课桌椅的长度,直观地感受到有剩余和量不足的生活现象.当学生需要对这些物体的长度进一步准确测量时,借助直观思维,产生用有分米或厘米刻度的尺去量这些较短物体长度的需要.这些长度无法用整米数来表示,如果还用米做单位该怎样表示呢？学生借助直观思维,产生用分数和小数表示的需要,这样的生活现象便自然转化为学生的认知对象.
(二)程序思维
通过程序操作和表象描述,让数学概念从零星逐步走向丰富,形成关于数学对象的各种表象,在此基础上,便于学生从中抽象概括出数学概念的共同属性,促进学生程序思维的自然发展.例如,学生借助熟悉的米与分米、分米与厘米、元与角、角与分等十进制进率关系,通过多次重复操作和表象描述,进行程序思维,逐步体验到“十分之几就是零点几,零点几就是十分之几”.
(三)抽象思维
通过认知压缩,逐步去除数学概念的非本质属性,保留本质属性,将本质属性有机组合起来,进行概念固化或符号表达,促进抽象思维的不断提升.例如,学生多次感受到把1米、1元、1个长方形平均分成10份,其中的1份用分数表示就是110,用小数表示就是0.1,建构110和0.1相等的对应关系；其中的2份用分数表示就是210,用小数表示就是0.2,建构210和0.2相等的对应关系……在这样的程序思维操作下,学生可以水到渠成地抽象概括出其共同属性,即十分之几就是零点几,零点几就是十分之几,并运用抽象思维总结出“分母是10的分数都可以转化成一位小数”的内在本质,建构形成一位小数的概念.
(四)图式思维
通过建构数学概念的模型结构,回归生活世界进行实践应用和不断完善,循环演绎拓展数
学知识,促进图式思维的发展.例如,借助面积图、数轴图和计数器等直观模型,让学生对一位小数进行集群,在数一位小数中突破0.9,抵达1.0、1.1、1.2……从一位纯小数走向一位带小数,从“零点几”拓展到“几点几”,建构一位小数的符号模型“□10等于□.□”,形成完整的一位小数的图式结构.
可见,基于APOS理论的数学概念学习过程,既是数学概念形态的不断变换过程,也是学生数学思维不断发展提升的过程,最终指向学生心智结构的不断完善.
参考文献：
［1］ 鲍建生,周超．数学学习的心理基础与过程［M］.上海：上海教育出版社,2009.
［2］ 吴亚萍．“新基础教育”数学教学改革指导纲要［M］.桂林：广西师范大学出版社,2009.
［3］ 席爱勇,吴玉国．学理分析：让结构化学习深度发生［J］.中小学教师培训,2018（4）.
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