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导数在不等式证明中的相关应用
彭江敏 徐立新
（邵阳学院理学院 湖南 邵阳 422000）
摘 要：不等式的证明,中学往往只能用基本不等式,一些不等式的证明比较难,有时要用到一些技巧.但若利用高等数学中的导数,问题就变得简单了.
关键词：不等式；导数；应用
一、高等数学中的拉格朗日中值定理
定理1：若函数f(x) 满足：①在闭区间上[a,b] 上连续；②在开区间上(a,b) 内可导则至少存在一点ξ ∈ (a,b),使得f(b)-f(a)等于f?(ξ)(b-a).
利用上述定理,我们不难证明如下结论：
定理2：若函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,在开区间(a,b) 内可导,则有
（1） 当对任意的x ∈ (a,b), 恒有f(x)>0,则f(x) 在区间[a,b] 上是增函数.
（2） 当对任意的x ∈ (a,b), 恒有f?(x)<0,则f(x) 在区间[a,b] 上是减函数.
证明：?x1, x2 ∈(a,b),不妨设x1<x2. 由定理1,存在ξ ∈ (x1,x2) 使得f(x2)-f(x1)等于f?(ξ)(x2-x1),因此,若在(a,b)内恒有f?(x)>0, 则上式中f?(ξ)>0 且(x2-x1)>0,从而,f(x2)>f(x1) 即f(x) 在区间[a,b]上是增函数.
反之, 若在(a,b) 内恒有f?(x)<0,则上式中f?(ξ)<0 且(x2-x1)>0, 从而,f(x2)<f(x1) 即f(x) 在区间[a,b] 上是减函数.
上述定理告诉我们,函数单调增加的区间必有导数为正,而函数单调减少的区间必有导数为负.
利用上述定理2,我们容易证明一些不等式.
二、应用举例
三、总结
从上面两个例子,我们看到,利用导数来证明不等式有较好的作用,若用中学的原始方法,像这一类不等式的证明,有时是较难的,有时甚至是不可能的. 所以,利用导数证明不等式,是一种好的方法.
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