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关于问题解决和应用题教学的若干
摘 要：新一轮课改实施以来,就小学数学教学而言,“问题解决”已经完全取代了传统的应用题教学.而事实上,传统上属于应用题的内容现已有不少被纳入到了“问题解决”的范围,教学中不应关注采用的名称是“应用题”还是“问题解决”,而应是如何从事相关内容的教学才能更好地实现数学教育的基本目标,特别是促进学生思维的发展.
关键词：问题解决应用题教学数学思维学会思维
新一轮课改实施以来,“问题解决”这一词语已经被广大数学教师所熟悉：不仅被列入数学教育“总目标”,而且成为日常数学教学活动十分重要的一个部分,特别是,就小学数学教学而言,完全取代了传统的应用题教学.课改至今已有近20个年头,我们有必要对相关情况做出总结与反思.另外,教育的整体发展,特别是对于核心素养的大力提倡,也为这方面的进一步思考提供了重要背景或指导思想.
一、聚焦“问题解决”
按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》,数学教育“总目标”包括四个方面：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度.其中,关于“问题解决”的论述是这样的：“初步学会从数学的角度发现问题与提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识.学会与他人合作交流.初步形成评价与反思的意识.”显然,这主要可以归结为这样一个认识：数学教育应当培养学生“发现与解决问题的能力”.
如何才能落实这一目标？建议读者首先对此做出自己的解答,然后再与以下论述对照比较.
具体地说,我们应当高度重视国际上的相关实践给我们的启示,因为,“问题解决”正是国际特别是西方各国数学教育界在20世纪90年代的主要口号,而其主要含义就是应以“努力提高学生解决问题的能力”作为数学教育的主要目标.当时,不少学者提出,为了实现这一目标,数学教育的整体设计,包括课程与教学方法等都要做出重大的改变,特别是,全部课程都应采取“问题解决”这样一种形式,也即应当按照“弄清问题”“拟定计划”“实施计划”与“回顾”这样几个步骤进行组织.
当然,这方面的具体工作并不容易.例如,这显然对广大教师的知识储备和专业能力提出了不同要求.另外,从理论的角度看,我们则又应当深入地去思考这样一个问题：如何处理“问题解决”与数学基础知识、基本技能的教学这两者的关系？后者也正是现实中上述“极端化课程设计”何以逐渐为“组合式课程设计”所取代的主要原因.这就是说,由于“极端化课程设计”完全打乱了数学知识的内在体系,大大削弱了学生对于数学基础知识、基本技能的掌握,从而最终遭到了人们的普遍反对,取而代之的则是这样的观点：我们既应坚持数学的知识体系,同时又应高度重视如何能够通过具体知识内容的学习提升学生解决问题的能力,包括适当增加若干关于“问题解决”的专门内容.
这也正是课改后我国采取的主要做法,从《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的相关论述也可清楚地看出.比如,除去“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等领域的知识性内容以外,我们也应将“综合与实践”看成数学课程内容的又一组成成分,而其主要作用就是提升学生解决问题的能力：“‘综合与实践’是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.在学习活动中,学生将综合运用‘数与代数’‘图形与几何’‘统计与概率’等知识和方法解决问题.‘综合与实践’的教学活动应当保证每学期至少一次,可以在课堂中完成,也可以课内外相结合.”再如,“总目标的这四个方面,不是相互独立和割裂的,而是一个密切联系、相互交融的有机整体.……数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习,知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现.”也就是说,应当通过具体数学知识技能的学习很好地提升问题解决的能力.
当然,这也可以看成这方面的一个具体工作,即“问题解决”对于传统应用题的彻底取代.教材中有一些题材则属于“问题解决”的专门性内容,如人教版的“数学广角”,苏教版的“解决问题的策略”等.
由此可见,作为总结与反思,我们就应注意分析上述工作取得了多大成绩,又有什么不足之处.再则,为了提升学生解决问题的能力,又有哪些环节或方面应当获得我们的足够重视？
以下就是笔者在这方面的一些初步想法：
1．除去恰当地处理“问题解决”与数学基础知识、基本技能的教学之间的关系,国外的相关研究与教学实践还为我们提供了更多有益的启示.
（1）相对于波利亚的早期研究而言,“问题解决”现代研究的一个主要成果就是提供了这方面更加完整的一个概念框架,特别是,这不仅直接涉及主体是否较好地掌握了相关的数学知识与解题策略,也与“元认知”与“观念”等成分密切相关.由此可见,为了提升学生解决问题的能力,我们应当对此予以足够的重视.
（2）“问题解决”作为数学教育的主要口号在实践中暴露出了较大的局限性.例如,这方面十分明显的一个事实是,除去解决问题的能力以外,我们显然也应高度重视学生提出问题能力的培养,包括清楚地认识两者之间的辩证关系.更一般地说,人们更已形成了这样的共识：相对于“解决问题的能力”而言,我们应当更加重视帮助学生学会“数学地思维”.例如,作为“问题解决”现代研究的主要代表人物,美国学者舍费尔德(AlanH.Schoenfeld)就曾对自己在这一方面的工作有过这样的总结：“现在让我回到‘问题解决’这一论题.尽管我在1985年出版的书用了《数学问题解决》这样一个名称,但我现在认识到这一名称的选用不很恰当.我所考虑的是,单纯的问题解决的思想过于狭窄了.我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是由别人提出的问题,而是帮助他们学会数学地思维.”
2．由于缺乏系统、深入的研究,国内的相关实践也表现出了较大的局限性,特别是工作的随意性,从而未能取得较好的教学效果.
比如,广东省深圳市宝安区数学教研员高雅的总结,即可被看成为上述结论提供了具体论据,特别是这样一个事实：这方面的学习主要依靠大量练习,也即所谓的“熟能生巧”,但是,只要遇到稍微复杂一点的问题,学生就表现出了极大的困难.她说——
老师们在实际教学“问题解决”时,大致会关注四个步骤：一是读题,理解实际问题的意思,分析其中所蕴含的数量关系；二是恰当运用解决实际问题的策略,如画图、列表等,直观表达所蕴含的数量关系；三是认真运算；四是仔细思考解得的结果是否符合实际意义,即解释、检验.
但是,由于小学阶段所涉及的数量关系毕竟较少,因此,老师们更青睐熟能生巧,即分各种类型进行大量的练习.这样做的效果在考试中比较明显,是老师们在平时教学中的普遍现象.这样做的弊端在分数乘、除法应用题出现后体现得比较突出.由于缺乏对四则运算的本质意义的深刻理解以及多元表征分数乘法、分数除法的经历,靠记忆套用模式的学生常常在解决分数乘、除法问题时思维混乱,不知该乘还是该除,这也是小学高年段老师最头痛的地方.
而广东省中山市数学教研员刘燕对“问题解决”与传统的应用题教学进行了对照比较,从而为我们提供了一个新的分析视角.她这样总结——
新课改以来,算术应用题不再单独成为一个领域,取而代之的“问题解决”融汇到各个领域之中,这带给“问题解决”两个突出的特点：（1）不再局限于加减乘除问题的解决；（2）加减乘除问题的解决依附于计算学习.如果说第一个特点是一种进步,对学生的思维发展有利,那么第二个特点则是退步,不利于学生的思维发展.
认为是退步,是因为相应的问题解决依附于计算学习,使算术应用题原来的严谨的教学体系不复存在,并且,学生的计算能力与逻辑推理能力的发展并不同步,学生在具备了某种计算能力时并不一定具备相应的逻辑推理能力去解决相应的问题.以人教版教材为例,四年级学生逻辑推理能力比三年级学生强,可是四年级问题解决教学的量比三年级少得多,难度也比三年级要低.三年级问题解决学得很辛苦,四年级问题解决却又没什么可学.老师们以前对各年级学生应当掌握哪些问题解决很清楚,现在却非常模糊.
这正是传统的应用题教学的一个重要教训,即我们不应过分强调某些特殊的问题,而应更加重视由特例向一般性“模式”的过渡.
这也就如波利亚所指出的：“对于一个特例所以要进行这样周密的描述,其目的就是为了从中提出一般的方法和模式.”当然,从更深入的角度看,我们又应认真地去思考：无论就应用题或是“问题解决”的专门教学而言,我们是否应当特别重视“问题”的适当分类？对此我在本文第三部分做具体分析.
3．我们应当努力做到用“问题解决”这样一种方式去从事具体数学知识的教学.这应被看成通过具体数学知识的教学努力提升学生解决问题能力最重要的一个途径.
更为具体地说,这直接关系到了“问题引领”对于数学教学的特殊重要性,或者说,我们应将“知识的问题化”与“问题的知识化”看成数学教学十分重要的一个环节.
参见郑毓信发表于《小学数学教师》2018年第2～4期的三篇“中国数学教学‘问题特色’之系列研究”文章.这一做法还具有一个明显的优点,就是可以起到言传身教的作用,从而帮助学生更好地提升提出与解决问题的能力.
应当强调的是,我们还应跳出“问题解决”,从更广泛的角度进行分析思考.这也可被看成教育的整体发展给予我们的重要启示.
二、由“数学地思维”到“通过数学学会思维”
上面已经提及,这是数学教育界的一项共识：与唯一强调“问题解决”相比较,我们应当更加重视帮助学生学会“数学地思维”.后者不仅直接关系到数学教育的基本目标,也包括这样一个认识：我们应将数学思维的教学渗透于具体数学知识的学习过程,也即应当通过具体数学知识的学习帮助学生学会数学地思维.
（一）“数学思维”的主要内涵
关于“数学思考”
由于现实中人们常常会提到“数学思维”“数学思想”“数学思想方法”与“数学思考”等多个不同的词语,从而有必要对它们的准确含义（包括相互关系）做出清楚的说明.由于篇幅的限制,在此仅指出这样一点：“数学思维”与“数学思想”（包括“数学思想方法”）大致地可被看成是与一般所谓的“过程”和“结果”直接相对应的；另外,由于所谓的“过程性”和“动态性”也可被看成人们在使用“数学思考”这一词语时的基本立场,因此,就无必要对“数学思考”与“数学思维”做出进一步的细分.详见：郑毓信.新数学教育哲学［M］.上海：华东师范大学出版社,2015：435~461.,《义务教育数学课程标准（2011年版）》这样具体论述：“建立数感、符号意识和空间观念,初步形成几何直观和运算能力,发展形象思维与抽象思维.体会统计方法的意义,发展数据分析观念,感受随机现象.在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中,发展合情推理和演绎推理能力,清晰地表达自己的想法.学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.”不难看出,除去“发展形象思维与抽象思维”与“体会数学的基本思想和思维方式”这样两个一般性的论述以外,这一论述主要集中于以下一些核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力与推理能力等.
但是,这是否就可被看成很好地体现了“数学思维”的主要内涵？对此可以具体分析如下：
第一,“数感”“符号意识”和“数据分析观念”尽管的确与数学思维密切相关,但主要地又只是概括地指明了若干特定内容（算术、初中代数、概率与统计）的学习所应实现的目标.与此相对照,作为“数学思维”具体内涵的分析,我们显然又应更加突出数学的整体性特征,特别是数学的抽象性、精确性和应用的广泛性.
参见：【俄】亚历山大洛夫等.数学——它的内容、方法和意义(第一卷)［M］.孙小礼等译.北京：科学出版社,1984：1.
第二,“空间观念”“几何直观”“运算能力”与“推理能力”显然也可被看成学生通过数学学习应当具备的一些基本能力,从而与“数学思维”相比也有较大的不同.
为了更清楚地说明问题,在此还可对“问题解决”与“数学思维”之间的关系做一分析.因为,按照普遍的认识,“问题解决”主要也应被看成一种能力.对于数学中所说的“问题解决”,我们显然不应简单地理解成如何求得所需要的解答,同时却完全不用顾及使用的是什么样的方法、相关结论是否可靠、又是如何能够对此做出必要的论证的,也完全不用思考如何才能获得真正的理解（即对相关结论做出合理解释）、又是如何能够对此做出适当的优化与必要的推广的,等等.恰恰相反,只有围绕这些问题去进行思考,相应的解题行为才能被看成真正的数学活动.而这事实上就已由单纯的“问题解决”过渡到了“数学地思维”.总之,我们不应将“问题解决”与“数学思维”简单地等同起来,而应将它看成“数学思维”的具体体现和应用,特别是如何能用数学的眼光去观察世界,包括用数学的语言（概念）进行表述；如何能以“模式”的观点去从事研究,即能够超出各个特例以获得普遍性的认识,而不是满足于“就事论事”的经验积累.我们更应对结论的可靠性做出必要的论证以获得真正的理解,并能通过适当的推广与不断的优化获得更深刻的认识.
第三,对于“数学思维”的各个内涵,我们应清楚地看到它们的内在联系,而不应将它们看成是相互独立、互不相干的,如抽象与具体、逻辑（形式）推理与数学直觉、“数”与“形”的必要互补与对立统一等.当然,从总体上说,对于“数学思维”的清楚界定仍然是当前的一项紧迫任务,我们应针对不同的学段,即学生的认识发展水平,对这方面的教学工作做出合理的定位.
第四,从更高的层面看,“数学思维”又可看成一定的价值观念或价值取向的具体体现.也正因此,我们不应脱离具体的数学知识与数学思维的学习去谈论“情感、态度与价值观”的培养,更应清楚地看到这样一个事实：人们主要就是通过“理性思维”的学习与应用逐步发展起了“理性精神”,也即由“思维方法”逐步过渡到了“情感、态度与价值观”.
只有用数学思维的分析带动具体知识内容的教学,我们才能帮助学生真正学好数学知识,因此,就总体而言,我们可以引出这样一个结论：就数学教育“三维目标”的落实而言,“数学思维”应当被看成具有特别的重要性.
（二）用数学思维的分析带动具体知识内容的教学
相对于直接采用“问题解决”这样一种形式而言,我们应当更加重视如何用数学思维的分析带动具体知识内容的教学.后者就是我们帮助学生学会数学地思维的主要途径.因为,数学思维的学习并不能通过实际参与各种数学活动自然而然地得以实现；恰恰相反,我们应当明确肯定外部指导、特别是教师言传身教的重要作用.这就是说,只有教师较好地做到了以数学思维的分析带动具体数学知识的教学,才能使学生真正感受到数学思维的力量,并使数学思维真正成为“可以理解的、可以学到手和加以推广应用的”.
这方面的工作也集中体现了教学工作的创造性：主要地可以被看成数学史的一种“方法论重建”.由此我们也可更清楚地认识“数学思维”与具体数学知识的教学之间的辩证关系,特别是,只有用数学思维的分析带动具体数学知识的教学,我们才能将数学课真正“教懂”“教活”“教深”,即“能够通过自己的教学向学生展现‘活生生的’数学研究工作,而不是死的数学知识,并能帮助他们真正理解相关的内容,而不是囫囵吞枣、死记硬背,又不仅能够掌握具体的数学知识,也能领会内在的思想方法”.
总之,发挥“数学思维”的指导作用,正是数学教育应当努力实现的一项目标.当然,为了实现这样一个目标,我们又应切实增强自身在这一方面的自觉性,包括通过积极的教学实践与认真的总结与反思,不断提升自身在这方面的认识与能力.例如,除去“问题解决”以外,我们显然也应将“数学思维”渗透于其他各种数学活动,包括“概念的生成、分析与组织”“算法的学习与理解”等；进而,“数学思维”的渗透又不应被理解为某种“事后诸葛亮”式的表面智慧,而应体现于学习的全部过程,包括“开始部分”“中间阶段”与“结束部分”.
（三）提升思维品质是数学教育的主要目标
由“数学地思维”转而更加重视“通过数学学会思维”,即应当将促进学生发展思维特别是提升思维品质看成数学教育的主要目标.
笔者先前已多次撰文对此进行了分析论述
参见：郑毓信.为学生思维发展而教——“数学核心素养”大家谈［J］.小学教学（数学版）,2017（4~5）.,在此仅仅强调这样几点：
第一,我们应当超出数学,并从更一般的角度认识数学教育教学工作的意义,从而就可通过与其他学科的合理分工与密切配合,很好地实现“提升学生的核心素养”这一整体性的目标.
第二,数学教育的主要功能是让学生一天比一天更有智慧,特别是,帮助学生学会思维（而不只是学会“数学地思维”）,并能由“理性思维”逐步走向“理性精神”.
第三,我们应当通过数学教育,帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地思考,从而不断提高思维品质,并能真正成为一个高度自觉的理性人.
第四,就当前而言,我们应特别重视这样几个问题：正确处理“动手”与“动脑”之间的关系；帮助学生养成“长时间思考”的习惯与能力；帮助学生学会反思.
当然,这并非是指我们应将“数学地思维”与“学会思维”绝对地对立起来,而是指我们应当更好地处理数学思维与一般思维之间的关系.以“解决问题的策略”为例,先前主要集中于各种具体的解题策略或思维方法,也即如何能够顺利地解决问题；与此相对照,基于努力促进学生发展思维、特别是提升思维品质这一立场,就应更加重视一般性的思维策略,如“联系的观点”和“变化的思想”等.
笔者愿就这方面的工作提出如下整体建议：如果说先前我们往往比较重视教学工作的“实”“活”“新”（周玉仁语）,那么,就当前而言,我们应当更加强调一个“深”字,也即通过自己的教学促使学生更深入地思考,不仅能够想得更清晰、更深入、更全面、更合理,也能不断提升思维品质,包括思维的综合性、灵活性、自觉性和创造性等.
三、应用题教学之再思考
由于传统上属于应用题的内容现已有不少被纳入“问题解决”的范围,相关体系更是在“奥数训练”“一日一练”等名目下得到了沿用,我们在此所关注的就不应是这样一个纯词语性问题,即对于相关内容我们究竟应当采用“应用题”还是“问题解决”的名称,而应是如何从事相关内容的教学才能更好地实现数学教育的基本目标,特别是促进学生思维的发展.
当然,传统的应用题教学既有一定的可取之处,也有不少缺点或不足之处.以下就以《小学数学奥赛加油站(四年级分册)》（江苏凤凰少年儿童出版社2009年版）为例做出具体分析.这一选择反映了笔者的这样一个看法：三、四年级是以应用题为切入点促进学生思维发展的最佳学段.为方便起见,以下的讨论将集中于算术应用题的教学——这既是指我们在此所采取的都是算术方法而非代数（方程）方法,也是指我们会将其他一些内容如几何应用题等排除在外.
（一）算术应用题与一般计算题的不同之处
由于算术应用题涉及的都是加减乘除等基本运算,我们首先就应思考这样一个问题：相关问题与一般计算题（特别是简单练习题）相比,有什么不同？
一般计算题的主要作用是：通过此类题目的反复演练,可以帮助学生较好地掌握相关的基本技能,乃至逐步养成较强的计算能力.我们在此所强调的又应说是“程序性观念”,也即按照指定步骤快而准地从事计算,从而求得最终的解答.
与此相对照,算术应用题则具有以下不同特征：相关问题没有直接告诉我们应当通过哪些计算、包括按照怎样的顺序求得解答,我们必须通过自己的思考发现具体的解题途径.另外,按照现行的认识,除去相关能力的培养,应用题教学主要服务于促进学生思维的发展这样一个目标,即帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地思考.
当然,这一特征对于“问题解决”也是同样适用的,从而可被看成两者的重要共同点.这就是说,无论所面对的是应用题或是“非简单练习题（nonroutineproblem）”,都应依靠自己的思考去解决问题,即应通过综合地、创造性地应用各种相关的知识与技能求得问题的解答.事实上,这正是国际数学教育界关于“问题解决”的一项共识.
参见：郑毓信.问题解决与数学教育［M］.南京：江苏教育出版社,1994：40.也正因此,教学中就应特别重视这样一个问题：不应在不知不觉之中将应用题的求解或“问题解决”变成一种机械的行为、一种“程式化”的套路.
从同一角度进行分析,这显然也可被看成应用题与简单练习题的又一重要区别：如果说简单练习题主要着眼于帮助学生较好地掌握相关的基本技能,那么,应用题的求解就更加关注问题中数量关系的分析,从而也就与前述的“程序性观念”表现出重要的区别.尽管对于应用题我们仍可区分出多种不同类型,但它们又有这样一个共同特点：解题者必须通过问题中未知数与已知数之间数量关系（特别是等量关系）的分析发现具体的解题途径,如何快而准地实施计算则退居到了次要的地位.
（二）重视“问题的归类”
依据上述分析,马云鹏等《从应用题到数量关系：小学数学问题解决能力培养的新思路》一文的论点“应将数量关系作为小学数学核心内容之一,以数量关系为载体培养学生解决问题的能力”,显然就有很大的合理性.不过,在此仍有这样一个问题：为了提升学生解决问题的能力,除去数量关系的分析以外,我们还应重视哪些方面或环节,特别是,我们是否应当特别重视“问题类型”的区分与识别？再者,从促进学生思维发展这一立场去分析,我们又可获得哪些新的想法或启示？
事实上,对于传统应用题教学不足之处的分析,正是上述文章的一个主要出发点：“小学数学教学中,应用题教学作为培养学生解决问题能力的重要载体,积累了丰富的经验……应用题教学是数学与实际问题相结合的一种形式,在一定程度上培养了学生解决问题的能力.然而,在几十年的演变过程中,应用题教学的理念与价值不断转变,逐渐形成了一套固定的思考模式和解题模式.以至于将应用题的类型机械地归结为11种,解题模式由一步应用题,到两步应用题（复合应用题）,再到典型应用题,形成了一种‘程式化’的解题套路……使应用题的教学陷入困境,学生的问题解决能力没有得到切实的培养.”
对于机械的、程式化的学习当然应持批判态度,但我们是否又应因此而完全否定“问题的适当归类”的重要性呢？
笔者的看法是：这正是人类认识活动的普遍特征,即“模式识别”具有十分重要的作用.因为,只有这样,我们才能有效地利用已有的知识和技能、包括由长期实践获得的经验解决新的问题,而无须每次“从头开始”,耗费大量的精力和物力.
在此还可对“类比”与“抽象”做一简单比较：如果说前者可以被看成“实践性智慧”的主要特征,即“借助于案例进行思维”,那么,后者就应被看成数学思维更加重要的一个特征（事实上,数学在很大程度上可被定义为“模式的科学”）,这直接关系到了认识的深度,也即我们如何能够通过特殊与一般的辩证运动不断深化我们的认识.
但是,我们又应如何去实现“问题的归类”（“模式化”）呢？在此特别强调这样几点：
第一,正如前面所提及的,这也是“问题解决”的教学应当特别重视的一点,即不应停留于各个具体问题（如“植树问题”“搭配问题”等）的求解,而应由特殊上升到一般,从而提炼出一般性的方法或模式.特别是,不应以问题的事实性内容作为区分问题类型的主要标准,而应更加重视其内在数量关系的分析（这也可被看成“数学学习必须去情境”这一思想的具体体现）.这显然也为我们具体审视《小学数学奥赛加油站》中所提及的各种“问题类型”的恰当性提供了重要标准.
第二,教学中所涉及的问题类型不应过多、过滥.这或许也可被看成《小学数学奥赛加油站
》的一个不足之处：即使去掉一些不属于算术应用题的问题,如“长方形和正方形”“图形的分与合”等,书中所提到的“问题类型”仍有近20个之多.更进一步说,基于促进学生思维发展这一立场（对此当然不应混同于“奥数训练”）,书中还有不少“问题类型”似乎也无须特别提及.如“简单的数列问题”“周期问题”“平均数问题”等,因为它们的主要作用就是帮助学生较好地掌握相应的数学概念或知识（其中的一些已超出了四年级的学习范围）；又如所谓的“定义新运算”和“还原问题”等,由于它们主要涉及某些特殊的思维形式.
当然,在此也应注意防止“过分简化”的倾向.例如,在笔者看来,以下《从应用题到数量关系：小学数学问题解决能力培养的新思路》中的论述就多少表现出了这样的倾向：“小学阶段将数量关系作为核心内容,应当包括这样一些内容.一是常见的数学关系.包括加法关系模型和乘法关系模型……二是比和比例……三是简易方程.”
（三）提升对于“问题类型”（模式）的识别和应用能力
这方面的一个基本原则是：“问题的分类不应求全,而应求辨.”
第一,“辨”的第一个含义当然就是指对于基本问题模式的识别能力,也即能够通过数量关系的分析,辨识出是否可以将所面临的问题归结为某个（些）基本的“问题类型”.
例如,由具体考察可以看出,尽管从形式上看“年龄问题”有其特定的现实意义,但就内在的数量关系而言,它们主要地又可被归结为“和差问题”“和倍问题”和“差倍问题”.另外,我们也可从同一角度对所谓的“行程问题”与“归一问题”之间的关系做出具体分析.
第二,相对于直接应用某一解题模式就能顺利地解决的问题而言,我们显然应当更加重视更复杂问题的求解,这也就是“辨”的第二个含义,即我们应当注意分析所面对的问题与相应的“问题模式”有哪些不同,又如何通过适当的变化或调整顺利地解决问题.
例如,就“和差问题”（或“和倍问题”,或“差倍问题”）而言,有一些常见的“变式”,即问题中没有直接给出两个数的“和”与“差”（或“和”与“倍”,或“差”与“倍”）,而是要求解题者首先依据题目中的条件去求得这些必要的数据,或是对所要求取的解答做一定的调整,等等.再如,未知数个数的增加,如由2个增加到3个或更多,显然也是另一种重要的变化.
除去所说的“变式”以外,我们还应提及所谓的“组合”,即由若干基本“问题类型”组合而成的新问题.例如,《小学数学奥赛加油站(四年级分册)》中有不少实例可被看成属于这样一个类型.
综上可见,帮助学生逐步学会用“变化的思想”与“联系的观点”去看待问题,从而发现可能的解题途径,正是应用题教学所应特别重视的又一问题.当然,从根本上说,我们的关注点又应始终集中于问题中的数量（等量）关系.
（四）关注一般性的思维策略
强调学生的思维发展,要求我们将关注点由各种具体的解题方法或解题策略转向一般性的思维策略,如上面所提到的“变化的思想”与“联系的观点”.以下再从其他角度做进一步的分析.
第一,对照比较也是一个十分重要的思维策略（问题的归类就可看成这一策略的一个具体应用）.更重要的是,我们应善于通过新问题与已解决问题（包括基本“问题类型”）的对照比较,特别是异同点的分析,发现可能的解题途径.
例如,尽管“年龄问题”可以归属于“和差问题”“和倍问题”和“差倍问题”,我们还是要注意分析它又有哪些新的不同特点.具体地说,尽管此类问题中所涉及的年龄处于不断变化之中（如几年前或若干年后）,但不同成员（如父子、兄弟）之间的年龄差又是保持不变的——在很多情况下,这也正是以“和差问题”等为背景顺利求解“年龄问题”的关键.
再如,为了帮助学生很好地掌握“归一问题”这样一个基本模式,包括以此为基础顺利地求解各种相关的实际问题,如行程问题、购物问题、运输问题等,我们在教学中显然也应特别重视它们的对照比较,包括如何由它们的共同点引出相关的问题模式,以及清楚地指明应用这一模式解决问题的关键.
具体地说,这些问题的共同点是：它们都涉及“单位量”这样一个概念以及“单位数×个数等于总数”这样一个数量关系（这也正是人们将此称为“归一问题”的直接原因）.进而,我们应依据具体情境对两者的含义做出具体解释,如“行程问题”一是求速度,二是求总路程；“购物问题”一是求单价,二是求总价；“运输问题”一是求单车的运载量,二是求运输的总量.最后,我们还应注意分析各类问题的特殊之处,如求解“行程问题”时,应特别重视相关的“行车方式”,即究竟是“相向而行”还是“同向而行”,等等.
由此可见,为了提升学生关于“问题类型”的识别和应用能力,在提供了一定的范例以后,我们也就不一定要让学生具体地求解很多相关的问题,而只要求他们具体地判断新的问题与原来的范例有什么异同.
第二,即使就基本的“问题类型”而言,我们也应注意分析其内在联系,而不应将它们看成是互不相干的.
例如,在学完了“和差问题”,进而学习“和倍问题”时,就应引导学生将两者联系起来加以考察,并注意分析它们的异同点.两者显然有这样的共同点：它们都含有2个或2个以上的未知数,而且,顺利解决问题的关键又都在于实现未知数由“多”向“一”的转变.也正因此,我们就可将后者看成前者的一个“变式”,并应鼓励学生主要依靠自己的努力去发现相应的解题模式,包括思考这样一个进一步的问题：除去“和倍问题”,“和差问题”还有哪些可能的变式？
再如,正如前面所指出的,这事实上也可被看成顺利求解“归一问题”的关键,即很好地处理“多”和“一”之间的关系（与此相类似的还有五年级分册的所谓的“消去问题”）.这也就为我们从更广泛的角度进一步思考不同“问题类型”之间的联系提供了一个新的切入点：就所说的各种情况而言,我们究竟应当如何理解“归一”的含义？
第三,依据上述分析,我们显然也可引出这样一个结论,即以下关于应用题的分类过于简单了：（1）简单数量关系；（2）复杂数量关系；（3）特殊数量关系.而它在很大程度上是与传统的应用题教学模式直接相对应的,即“由一步应用题,到两步应用题（复合应用题）,再到典型应用题”.这也就更加清楚地表明了超越“传统”的必要性.
事实上,无论是简单与复杂的区分,还是特殊与一般的区分,应当说都有很大的相对性,从而,与绝对化的认识相比较,我们就应更加重视它们之间的辩证关系.另外,从思维发展的角度看,我们还应特别强调这样一点：相对于“一步”“两步”这样的纯形式区分,教学中应当更加强调对于“序”的把握,这十分有利于提升学生思维的整体性和条理性.
第四,从同一角度,我们也可更好地回答这样一个问题：我们应当如何从事“解决问题的策略”的教学？对此,我们不应单纯地从解决问题的角度进行分析,也即将解题策略看成纯粹的“解题术”,而应超越这一范围,从更广泛的角度去思考其对于学生思维发展的积极意义,并由此判定教学中究竟应当提倡哪些解题策略.
例如,除去上述已提及的各个思维策略以外,我们还应充分肯定“画图”与“列表”的重要作用,包括这样一个事实：尽管似乎不应将“还原问题”和“盈亏问题”看成专门的问题类型,但仍可以此为例帮助学生更好地理解这两个解题策略的重要性,因为,这十分有利于问题的分析理解与整体把握.另外,我们也可从同一角度对如何从事“假设问题”的教学做出分析思考.在此,我们应当特别强调相应的解题方法——相对于“假设法”而言,“尝试与误差纠正法（tryanderror）”应当说是一个更加准确的名称,因为,后者显然具有超出任一特殊问题类型的普遍意义.
第五,关于算术应用题的教学,显然还有必要对这样一个问题做出回应：算术应用题应当说并不容易,其中的有些问题更可说有很大的难度,但是,随着方程（代数）方法的学习,这些问题的求解往往变得十分容易,即只需按照一定的程序或方法就可顺利地解决,从而,我们是否真有必要从事算术应用题的专门教学,还是应当尽快离开“四则难题”去引进代数方法？
后一论点显然有一定的道理,特别是,算术应用题的教学绝不应无限制地引入各种难题与怪招,但这是否就意味着我们应当完全否定算术应用题的教育价值？显然,后一论点过于简单了,因为,我们在此所涉及的应当说主要是这样一个问题,即我们应当如何从事算术应用题的教学.
具体地说,我们仍应围绕数学教育的基本目标,也即“帮助学生学会思维”来进行分析思考.事实上,在不少数学家看来,很好地处理复杂与简单之间的关系,正是数学研究最重要的一个特点：“简单性”可以被看成数学家乃至人类普遍追求的一个目标,“简约对于人类数学是特别有意义的”；但“我们同时被简单性和与复杂性这一对矛盾所吸引”,也就是说,我们所希望的是通过“由简单走向复杂”和“化复杂为简单”,不断发展与深化我们的认识.
显然,依据上述分析,我们可以更清楚地认识算术应用题教学的意义,因为,先前的论述已经表明,“简单性与复杂性的矛盾”同样贯穿于算术应用题学习的整个过程.
当然,我们也应清楚地看到这样一个事实：随着研究的深入,一些具体的数学知识、包括方法等,确有可能遭到淘汰.但是,数学的发展又有很大的积累性,从而,如果我们未能很好地掌握相应的基础知识和基本技能,就不可能在数学上做出进一步的发展.更重要的是,尽管某些具体的知识内容和解题方法等有可能被淘汰,但与此直接相关的数学思维则有更加普遍和持久的意义,特别是,它们的学习更应被看成为思维的进一步发展提供了必要的基础.
还应强调的是,这也正是我们面对由于现代技术特别是人工智能的迅速发展所造成的“大加速时代”所应采取的立场.“现今很多复
杂的事情都被简单化了……简化到只用几个按键、触摸或语音命令”,但这并不意味着未来的世界将是“懒人的天堂”.恰恰相反,只需依靠已有知识和经验就可获得稳定工作并因此过上体面生活的日子将不复存在,这就对人们的智力发展特别是思维能力提出了更高的要求,因为,只有这样,我们才能很好地适应迅速变化的时代.
希望本文能对上述方面的工作发挥一定的促进作用,特别是,能够促使更多一线教师积极投入此项工作,从而使应用题教学真正成为中国数学教育的又一重要特色与亮点.
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