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重视多元表征感悟集合思想以《集合》教学为例
集合》是人教版《数学》三年级上册“数学广角”中的内容,涉及日常生活中应用比较广泛的数学知识.教材例1 主要是借助学生熟悉的素材——计算参加跳绳和踢毽子比赛的人数,介绍如何用韦恩图表示出参加两项比赛的人数,思考怎样列式解决问题,从而渗透集合的思想和方法,为今后的学习奠定基础.
教学中,笔者通过巧设障碍、多元表征、数形结合和关联建构,让学生充分感知集合图,感受用集合解决重叠问题的价值,领悟集合思想.具体操作如下：
一、巧设障碍、激发认知冲突
有效的数学活动必须建立在学生的认知水平和已有知识经验的基础上.课始,笔者借助学校运动会创设问题情境：学校准备举行各类单项活动比赛,三（1）班学生的参赛情况统计如下表.先课件出示表1,并让学生口答“一共有多少人参加跳远、掷垒球这两项比赛”,根据名单学生准确地给出答案：共八人.接着用课件出示表2（擦去了表中的具体姓名,只标明参加跳绳的共9 人,参加踢毽子的共8 人）,并让学生回答“参加跳绳、踢毽子这两项比赛的一共有多少人”,有学生脱口而出17 人,也有学生猜测是16 人,提出可能有1 人重复参加,马上又有学生反驳,是15 人,也有2 人重复的可能……
此时的悬念,有效地激发了学生的认知冲突,把学生的思维引向纵深,激发了学生强烈的探究,学生在不断争辩的过程中发现了重叠问题.
二、多元表征,感悟集合思想
在学生积极主动地解决“参加跳绳、踢毽子比赛的一共有多少人”时,笔者引导学生用自己喜欢的方法表示出参加这两项比赛人数之间的关系.学生先后展示了连线法、画圆片（表示两项比赛人数,重复比赛的人用涂色圆片区分）、韦恩图（不标准）等多种方法.这样用个性化的思考和处理问题的方式解决问题,有利于学生直观感知“两个集合的并集的元素个数”.在此基础上列式解决问题,学生出现了多种算法.
针对学生的多种算法,笔者有意让学生结合韦恩图说一说算式所表示的意思,借助直观图示理解韦恩图中每一部分的含义,加深对集合知识的理解.例如,学生列式为9+8-3等于14,笔者让学生结合韦恩图说一说求出的是哪一部分,体会两个集合的并集,再说一说这样列式的理由,体会“求两个集合的并集的元素的个数,就是用两个集合的元素个数的和减去它们的交集的元素的个数”这一基本方法.学生列式为8-3等于5,9+5等于14,并说明“8-3”表示的是只参加踢毽子比赛的人数,在韦恩图上指出是哪两部分相减,“9+5”表示参加跳绳比赛的加上只参加踢毽子比赛的人数,同时,在韦恩图上指出是哪两部分相加.
三、数形结合,构建集合模型
建模的过程实际上就是数学化的过程,是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的知识的过程.
本节课的教学由空白表格中可能隐含的“重叠”到“韦恩图”里藏着的“重叠”到最后计算“一共有多少人参加这两项比赛”,从具体表象出发,循序渐进,逐步抽象,把元素从具体的学生姓名抽象为数,推进数学化过程.在探讨重叠问题的解决方法时,教师质疑：怎么可能9+8等于14 呢？学生借助韦恩图直观、形象地表示集合及其交集和并集,此时对重叠问题中应该“减几”的理解水到渠成,在脑中自主构建了“A+B-C等于总数”的数学模型,轻松突破本节课的教学重难点.
在练习中,设计开放题：三（1）班还有10人参加跳高比赛,12 人参加跑步比赛,其中6人既参加跳高比赛又参加跑步比赛.一共有多少人参加这两项比赛？学生应用韦恩图解决此问题后,教师逐步引导学生深入思考：这题中,有6 人既参加跳高比赛,又参加跑步比赛.还可能有几人同时参加这两项比赛？最多几人？可能是11人吗？最少是几人？为什么？ 随着学生的回答,课件中的韦恩图不断变化,由包含关系到两个集合没有交集,学生直观感知“大圈套住小圈”“大、小圈分开”,丰富学生对集合认识的同时,“A+B-C等于总数”的数学模型得以灵活应用.
四、关联建构,完善集合认知
学生从一年级学习数学时,就开始接触集合的思想方法.例如,学习数数时,利用韦恩图表示集合的方法,把1 面国旗、2 个单杠、3 个石凳分别用封闭的曲线圈起来表示,直观、形象地表示出数学概念；在比较多少时,通过两组数量相等的实物一一对应,理解“ 同样多”的概念,初步体会了集合元素之间的一一对应关系；在认识乘除法的意义时,用圈一圈的方式,利用集合直观理解乘法的意义“ 几个几”和除法“ 平均分”的过程和结果等.
本节课结尾,教师利用课件直观、有序地一一再现这些渗透集合思想、方法的截图,通过“关联”,丰富学生对集合的认识,变无意识地感知为自主建构,完善学生对集合的认知.
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