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有趣的钟面角问题
黄世平
在日常生活中,我们经常会遇到钟表表面的时针、分针之间的夹角问题,下面我们一起来探究用一元一次方程解决“钟面角”问题.
我们知道,钟表的表面是一个圆形,共有12 个大格,每个大格间又有5 个小格. 圆形的表面恰好对应着一个周角360°,因此每个大格对应30°角,每个小格对应6°角. 时针每小时转1大格,每12个小时转1个圆周；分针每1分钟转1小格,每5分钟转1 大格,每小时转1 个圆周.由此,很容易计算出时针的转速为30°/小时或0.5°/分钟,分针的转速为6°/分钟. 同一时段内,分针走过的度数是时针走过的度数的12 倍,即分钟的速度是时针速度的12倍.
一、单针的旋转角问题
例1 从12 时整到12 时20 分,分针转过了____________°,时针转过了____________°.
分析：由分针转速为6°/分钟,可得从12 时整到12 时20 分,分针转过的度数；由时针转速为0.5°/分钟,可得到从12 时整到12 时20 分,时针转过的度数.
解：∵ 分针转速为6°/分钟,
∴ 从12 时整到12 时20 分,分针转过的度数为6°×20＝120°.
∵ 时针转速为0.5°/分钟,
∴ 从12 时整到12 时20 分,时针转过的度数为0.5°×20＝10°.
例2 时钟的时针转了20°角,则时间过了分钟__________.
分析： 由时针转速为0.5°/分钟,可由时钟的时针转了20°角得到经过的时间数.
解：∵ 时针转速为0.5°/分钟,时钟的时针转了20°角,∴ 时间过了20÷0.5＝40（分钟）.
二、双针形成的钟面角问题对于“ 钟面角”问题,通常将时针、分针所转过的角度看成一个追及问题,从而可以借助一元一次方程来解决.
例3 在1 点和2 点之间,什么时候钟面上的时针和分针重合？分析：当1点时,分针在0点（12时）,此时时针在分针前30°. 要使分针与时针重合,就相当于分针追上时针,即有等量关系“分针走的角度＝时针走的角度＋30°,进而可以列出方程求解.
解：设经过x 分后时针和分针重合.
例4 钟面上显示的时间是12点整,时针和分针在同一条直线上,再过几分钟钟面上再次出现时针和分针在同一条直线的现象？此时它们的旋转角分别是多少？
分析：钟面上显示的时间是12点整,时针和分针在同一条直线上,再过几分钟钟面上再次出现时针和分针在同一条直线的现象,即分钟要比时针多走半个圆周,从而有等量关系“ 分针走的角度＝ 时针走的角度＋180°”,可列出方程求解.
解：设再过x 分钟钟面上再次出现时针和分针在同一条直线上的现象.
例5 在钟面上,7∶30-8∶00 之间钟面角等于90°的时刻是多少？
分析： 如图1 所示是7∶30 时,时针和分针的位置,此时,时针与分针的夹角为45°,要使7∶30-8∶00 之间钟面角等于90°,则有等量关系“ 分针走的角度＝ 时针走的角度＋45°＋90°”,再列出方程求解.解： 设再走x 分钟后钟面角等于90°.
点评：解答此题的关键是在7∶30时,此时时针与分针之间的角度为45°,因此分针应先追上时针,再多走90°即可得到正确答案.
例6 在4 点到5 点之间,何时钟面上时针与分针的夹角为60°？
分析： 当4 点时,分钟在0 点（12 时）,此时时针在分针前120°.要使分针与时针的夹角为60°,则有两种等量关系：（1）分针走的角度＋60°＝ 时针走的角度＋ 120°；（2）分针走的角度－ 60° ＝ 时针走的角度＋120°. 分别列方程求解即可.
解： 设经过x 分钟,在4 点到5点之间,钟面上时针与分针成60°角.
点评：由于使分针与时针的夹角为60°的情况有两种,因此解答本题时要根据分针未超过时针和分针超过时针两种情况来求解.
例7 某人下午6 点多钟外出买东西,看手表上的时针与分针的夹角是110°,下午近7 点回家时,发现时针与分针的夹角又是110°,求这个人外出了多长时间？
分析： 如图2 所示是下午6 点多钟外出时时针与分针的位置,如图3 是下午近7 点回家时时针与分针的位置,即开始时分针在时针后面110度,后来是分针在时针前面110度,从中可以发现隐含的数量关系是“分针走的角度－时针走的角度＝110°＋110°”,据此可以列方程来求解.
解：设这个人外出了x 分钟,根据题意有6x－0.5x＝110＋110,解得x＝40.
答：这个人外出了40分钟.
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