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创设有效的情境，培养学生的数学建模能力
《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在课程设计思路中明确指出：“义务教育阶段数学课程的设计,充分考虑本阶段学生数学学习的特点……使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.”
同时,新课标还将“模型思想”作为八个核心概念之一,指出,“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识.”
可以看出,培养学生的数学建模能力,必须依托具体的生活情境,要让学生充分感受生活情境,学会从复杂的生活情境中挑选有效信息,从而将生活问题抽象成数学问题,并综合运用所学的数学知识进行解决.
我们学习数学知识,并不是为了完成给定的数学问题,而是为了去解决生活中的实际问题,这才是学习数学的最终目的.所以,生活问题既是数学建模的源头,也是数学学习的终极目标.
因此,在进行数学建模教学的过程中,生活情境的选择非常重要.我们要优选生活情境,使其具有一定的现实意义,并且要和儿童的实际生活密切联系,这样儿童才容易理解其中隐含的问题,才能引起他们的探究,从而将生活问题抽象成数学问题,并得到解决,实现数学建模的过程.
一、创设有效的生活情境,将生活问题数学化
一切知识皆来源于生活,数学模型的构建更是依赖于一定的生活情境,只有在对生活情境有充分的了解,舍弃那些与问题无关的非本质因素,保留问题的本质因素之后,学生才能顺利地建立起有效的数学模型,从而将生活问题数学化.
说到数学建模,数学史上一个最著名的例子,就是格尼斯堡的七桥问题.当格尼斯堡的人们每天沿着市中心的7 座桥散步时,不知不觉中便提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥,而且每座桥只许通过一次,最后仍回到起始地点.这就是一个生活问题,然而在很长的一段时间内,人们都被河、桥、陆地这些诸多因素所干扰,始终无法解决这个问题.而欧拉将陆地抽象成点,将桥抽象成线,舍弃了那些无关因素,从而将七桥问题转化成数学上的一笔画问题,进而顺利解决了这个困扰大家多年的七桥问题.
从欧拉解决七桥问题的过程中,可以看出数学建模的魅力,就在于能够将生活问题数学化,并运用数学知识来解决生活问题.因此在实际教学中,我们也要善于从儿童的日常生活中选取可用的素材,创设丰富而有效的生活情境,让孩子在情境中感悟、体验、思考、探究,进而将生活问题抽象成数学问题,从而得到解决.
比如在教学和的奇偶性时,老师创设了一个抛骰子玩转盘的生活情境.抛骰子和玩转盘在学生的生活中很常见,由此拉近了学生与课堂探究内容之间的心理距离,也密切了数学与生活之间的联系.在这个游戏中规定,抛出骰子后,将抛到的数再加一遍,得到一个结果,然后在转盘上找到相应的数据,领取对应的奖品.学生玩了几次都是空手而返,这是为什么呢？
在生动有趣的生活情境的渲染下,孩子们陷入了沉思中.很快有孩子发现,转盘上奇数对应的都是有奖品的,而偶数则都是“谢谢参与”.还有孩子意识到,将抛到的数再加一遍,不管原来抛到的是几,再加一遍之后都是偶数,因此都拿不到奖品.看来,拿不到奖品不是运气不好,而是规则定得不好.
于是,老师让学生修改规则,使得这个游戏更加公平.有孩子提出,抛两次骰子,然后将两次抛到的数相加.那么,如何确定和的奇偶性呢？两个数相加,有哪几种不同的情形呢？接下来,孩子们就分别研究偶数加偶数、奇数加奇数、偶数加奇数这三种不同情形下和的奇偶性,并最终得出规律.
在这个课例中,学生通过玩转盘这个具体的生活情境,将骰子和转盘这些无关因素舍弃,保留下来的则是两个数相加确定和的奇偶性,从而将生活问题抽象成数学问题,并建立起相应的数学模型,他们经历了生活问题数学化的过程,这是整个数学建模过程中最为关键的环节.在六年级的一节数学活动课上,老师向学生介绍了古印度梵塔的传说.在古老传说的情境渲染下,再让学生玩汉诺塔,比一比谁的速度最快.当学生从2 层汉诺塔开始,逐渐过渡到3 层、4层、5 层汉诺塔,难度逐渐加大,移动的次数也变得越来越多.于是有学生开始思考,在每一种情形下,最少需要移动的次数之间有怎样的规律.通过分析发现,n层汉诺塔最少需要移动（2n－1）次.在这个教学片段中,教师创设了梵塔传说与汉诺塔移动比赛的生活情境,学生在操作的过程中,自主地将生活问题抽象成数学问题并建立起数学模型,思考最少需要移动次数所存在的规律,并进而解决了这个问题.
但是在这节课上,数学建模的过程并没有止于此,而是向着数学思维的纵深处发展.老师随后又创设了一个生活情境,向学生介绍了古印度的另一个传说,关于国际象棋发明者接受国王赏赐的故事：在棋盘的第1 个小格里赏一粒麦子,在第2 个小格里给2 粒,第3 个小格给4 粒,以后每一小格都比前一小格加一倍,把棋盘上的64 格都摆上麦粒.64 格一共能摆放多少麦粒呢？孩子们纷纷拿起笔计算起来,真是不算不知道,一共竟然有（264－1）粒,这是一个20 位数,真是一个超出我们感知能力的天文数字.
将刚才的两个例子进行对比,学生发现,两种不同的生活情境,两种不同的生活问题,最终都归结到（2n－1）这个统一的数学模型,这正是数学模型的魅力,同一个数学模型会应用到不同的生活问题中,会有不同的具体解释,所以数学模型具有高度的抽象概括性.
对小学数学而言,数学建模的过程,实际上就是生活问题数学化的过程,是学生在数学学习中获得某种带有模型意义的数学结构的过程.在这节课上,教师创设了两个不同的生活情境,让学生经历生活问题数学化的过程,当学生排除无关信息的干扰,将生活问题与一定的数学知识建立联系,将生活问题抽象为数学问题之后,他们的数学思维能力也就得到了一次提升.而当学生认识到不同的生活问题竟然归结到同一个数学模型之中,他们对数学模型会有一个更深刻的认识,也为以后应用数学知识解决实际问题提供了丰富的数学经验.
二、创设优化的现实情境,将形象问题抽象化
我们在进行数学建模时,需要将生活问题进行一定的抽象化,经过适当的概括,提炼出抽象的数学模型.因此在课堂上,我们需要创设优化的现实情境,将生活问题形象地呈现出来,促使学生在直观的情境中分析、反思,并进一步进行抽象概括.
数学模型的抽象化,主要在数学概念方面运用得比较多,比如数的概念、几何概念等.由于这些概念本身就是对大量生活原型进行抽象概括之后得到的,所以在课堂教学中,我们要注重让学生在充分感知的基础上进行抽象概括.
比如在教学百分数的意义一课时,结合学校正在开展的篮球比赛,创设了评选最佳投篮运动员的现实情境,学生都来做小考官,对三位运动员的投篮情况进行评比.首先让孩子分析给出的三个同学投中的次数,当有同学根据吴立军投中次数最多,而选择吴立军为最佳投篮运动员时,有同学提出反对意见,认为还应该考虑一共投篮的次数.这时出示,又有同学根据张小华没有投中的个数最少,而选择张小华.王浩未投中的个数最少,是否王浩投篮本领最好？在此基础上,孩子们进一步思考发现,可以计算出每个同学投中次数各占投篮总次数的几分之几,然后再进行比较.于是,百分数概念的得出就水到渠成了.
在这个教学片断中,教师选取了学生喜欢的、和他们生活密切相关的篮球比赛这一现实情境,学生在优化的情境中,感受生活问题并将其逐步抽象,从而得出百分数这一数学模型.
接下来和学生一起分析64%的含义,此时学生所能理解的还只是这个百分数的具体含义,还只是在投篮命中率这种生活情境之下的百分数.为了让学生更加充分的感受各种不同的百分数的情境,充分认识百分数的具体含义,并能抽象概括出百分数的一般意义,老师再一次创设了优化的现实情境,在班级开展“新闻发布会”,让孩子们都成为小小新闻发布员,向大家介绍自己收集的生活中的百分数,分析它们所表示的具体含义.通过对这些百分数具体含义的分析,学生对百分数这个数学概念有了更为深刻的认识,在此基础上新一步进行抽象,从而抽象概括出百分数的模型.
通过课堂上教师精心创设的两个优选的现实情境,孩子们在充分感受百分数具体实例的基础上,对生活中的百分数进行了深入思考,经过两次抽象概括,终于得出了百分数的数学模型,这不仅培养了孩子们的数学建模能力,也进一步发展了数学分析、概括和抽象能力.
三、创设模拟的操作情境,将具体问题一般化
数学知识源于生活,是对生活现象的抽象、概括与提升.许多生活现象之间都存在着数学上的某种联系,表现出相类似的规律性,因此可以将它们概括在一个更为普遍的数学模型之中.
因此在数学课堂上,我们可以将现实生活中发生的与数学学习有关的素材引入课堂,让学生在教师精心创设的模拟情境中进行操作探究,将生活问题抽象成数学问题,并将具体的问题一般化,从而得到一个更为普遍适用的数学模型,让学生体会到数学模型的高度概括性,认识到数学规律的普遍存在,从而对数学模型有更深的认识.
比如在教学格点与面积时,教师创设了一个师生比赛的生活情境,给出几个格点多边形,看谁能最先得到它的面积.几轮比赛都是老师获胜,学生在惊叹之余,也非常想要找到格点多边形面积的秘密,于是便开始研究内部格点数为1 的这些格点多边形（这是老师给定的图形）,从而发现它们的面积恰好等于边上格点数的一半,这是数学建模的开始.
可是,当孩子画出内部格点数不是1 的格点多边形时,却发现刚才的规律并不成立,看来刚才建立的数学模型只有在内部格点数为1 时才成立,并不具有一般性,还是属于比较具体的情形,因此需要将它进行一般化,从而得到更为普遍适用的规律.于是,接下来再研究内部格点数为其它情形时的格点多边形,分别得出相应的规律,并最终将它们整合在一个统一的数学模型之中,将数学模型的构建推向最高点.
再如,二年级教材中有一道练习题,让孩子体会在用数字卡片摆数的过程中,如何有序列举做到不重复不遗漏,感受数学的规律性.这对二年级的孩子来说有一定的困难,为了降低学习的难度,帮助孩子顺利实现数学建模,老师创设了一个排队拍照片的情境.请出三个小朋友小明、小军和小红,三个小朋友一起排队拍照片,他们可以怎样排队呢？你能找出哪些不同的排队方法？让小朋友每四个人为一个小组进行实际排队操作并记录排队方案,然后汇报.在孩子们汇报之后,适时地帮助他们将生活问题抽象成数学问题,以三张数字卡片来代表这三个小朋友,让他们思考,可以有哪些不同的排法,你觉得怎样才能做到不重复也不遗漏？在思考交流的基础上,得出结论,按照一定的顺序,比如对于三张数字卡片,按从小到大的顺序去排列,这样一共有6 种不同的排法.至此,三个小朋友排队的数学模型已然建成.但是数学建模却不能就此止步,因为这里只有三个小朋友,如果是4 个小朋友、5 个小朋友等等,又会有多少种不同的排法呢？这就需要把具体的问题一般化,得到一个一般情况下排队的数学模型.通过孩子的操作、探究,最终他们逐步找到了一个一般的规律,从而顺利地建立起关于排队问题的数学模型,初步感受排列问题的思考方法.
从上面的例子可以看出,通过教师精心创设的优化的生活情境,让学生从一个具体的生活问题出发,将其抽象成数学问题,研究它的解法,并上升到一种数学模型,最后再将其一般化,进行广泛的运用和推广,从而得到更为普遍的规律,建立起更为一般意义的数学模型,数学就是这样不断地发展起来的.
数学建模是将生活问题抽象成数学模型,从而获得解决.真实的生活场景包含有大量的信息,这就需要我们能够抓住问题的本质,选择那些有用的信息进行加工利用,因此要注重对原始生活问题的分析、抽象和数学化的过程,从而顺利的将生活问题抽象成数学模型.所以数学建模更完整的表现了学数学和用数学之间的关系,再现了一种微型的科研过程.
因此在数学课堂上,我们要尽可能地创设有效的生活情境,帮助孩子从生活问题中抽象出数学问题,建立数学模型,经历数学探究的过程,培养孩子运用数学知识解决生活实际问题的能力,促使小学生的思维水平从直观形象思维向逻辑抽象思维过渡.
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