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关于矩阵乘法运算的教学
张艳,张朝文
（中国矿业大学理学院,江苏徐州 221116）
[摘 要]通过解决实际问题引入矩阵乘法,利用反例引导学生进行对比和总结,再从几何直观的角度对矩阵乘法及其运算律做出解释,激发学生的学习兴趣,促进学生对矩阵乘法的理解,优化课堂教学效果.
[关键词]矩阵乘法；课堂教学；几何直观
[中图分类号]G642[文献标志码]A[文章编号]2096-0603（2016）01-0072-02
线性代数是高等院校工科专业的一门主要的数学基础课程.矩阵是线性代数重要的基本工具之一,也是线性代数研究的主要对象之一.很多科学研究与工程应用中的数学问题在某个阶段都涉及矩阵,最终都要归结为矩阵计算问题.其中矩阵乘法是矩阵计算及理论中的基本内容,但是由于乘法运算的烦琐性和理论的抽象性妨碍了学生对这部分内容学习的积极性.本文通过一个实际问题引入矩阵乘法的定义,并引导学生进行总结对比,然后从几何角度对矩阵乘法及其运算性质作出解释,融入直观教学,促进学生抽象思维与形象思维的协调发展,帮助学生理解和掌握矩阵乘法的抽象理论.
一、矩阵乘法运算的引入
在矩阵的运算中,加法和数乘运算相应的转化为矩阵的对应元素的加法和数乘运算,这样比较直观,学生易于接受,便于掌握.但是矩阵乘法运算没有顺应“直觉”定义为对应元素相乘,它不同于数的乘法运算,有许多特殊的性质,初学者接受起来有一定的困难,需要一定的过程.矩阵乘法运算较为烦琐,但并非“空穴来风”.下面我们通过一个实际问题引出矩阵乘法的定义.
例1.设甲、乙两位同学的高等数学课程的平时、期中、期末成绩在表1中给出,总评成绩有两种评定方法如表2所示.现确定两种评定方法下这两位同学的高等数学课程的总评成绩.
解：我们用矩阵的方法来研究这个问题.这两个表格可分别用矩阵表示如下：
利用评定方法一计算甲、乙的总评成绩如下：
甲：90×30%+70×30%+80×40%等于80
乙：60×30%+80×30%+90×40%等于78
类似的方法可以算出在评定方法二下甲、乙的总评成绩.
把结果用矩阵表示如下：
引导学生进行总结,发现规律,得出结论：矩阵C中的元素Cij是矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应相乘再相加的结果,从而引入矩阵乘法C等于AB的定义.并且注意到左矩阵A的列数必须等于右矩阵B的行数时A与B才能相乘,积矩阵C的行数等于左矩阵A的行数,C的列数等于右矩阵B的列数.
在课堂教学实践中,通过创设学生易于感知和接受的情境,引导学生解决实际问题,再引入相关概念,能够把抽象问题具体化、生活化,对促进学生理解矩阵乘法起到了一定的作用,并且消除了直接引入定义的突兀性,调动了学生学习的积极性和主动性.
二、关于矩阵乘法的几何解释
英国数学家凯莱（Arthur Cayley,1821～1895）一般被公认为是矩阵论的创立者,同研究线性变换下的不变量相结合,他首先引进矩阵以简化线性变换的记号.接着在1858年发表的第一篇矩阵文章《矩阵论的研究报告》（A memoir on the theory of matrices）中,凯莱引进了矩阵的基本概念和运算,给出了矩阵乘法的定义,并着重强调,矩阵乘法是可结合的,但一般不满足交换律和消去律.
下面我们以二阶矩阵为例利用线性变换的概念给出矩阵乘法运算的几何意义,并由此更深入地认识矩阵乘法的运算性质.
结果表明,矩阵乘法一般不满足交换律和消去律.
下面我们从几何变换的角度对结果进行分析.两个矩阵的乘积所表示的变换是原来两个矩阵表示的变换的复合.对于平面坐标系xOy上由二阶单位矩阵的列向量所张成的第一象限内的正方形,（1）中AB表示对其先逆时针旋转90°（变换矩阵为B）,再向远离x轴的方向伸长一倍（变换矩阵为A）得到的结果（如图1所示）；BA表示对其先向远离x轴的方向伸长一倍（变换矩阵为A）,再逆时针旋转90°（变换矩阵为B）得到的结果（如图2所示）,显然,变换顺序不同,所得的结果也不同.因此,矩阵乘法一般不满足交换律.但需要注意的是,有些情形下矩阵的乘法可以满足交换律,例如连续两次旋转或连续两次伸缩变换是可以交换顺序的.
（2）中结果AB等于AC但B≠C表明：把一个图形先作关于y轴的反射变换,再向x轴作投影变换的结果与先作关于坐标原点的对称变换,再向x轴作投影变换得到的结果是一样的.因此,可以得出矩阵乘法一般不满足消去律.
三、结束语
在教学过程中,针对问题创设情境,引导学生在解决问题的过程中进行总结对比,能够提高学生学习的积极性和主动性,激发学习动机,促进学生对矩阵乘法的理解.另外,通过对几何图形进行直观分析,能够挖掘矩阵乘法的几何背景和意义,为抽象思维提供形象模型,优化教学效果.
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