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量子力学算符法计算积分
谢传梅,杨 群
（安徽大学物理与材料科学学院,安徽合肥 230039 ）
[摘 要]通过一个具体实例介绍量子力学算符法计算积分的整个过程,该方法提供了求积分的一种新途径,该法无需直接演算积分本身即得所求,在教学中值得推广.
[关键词]量子力学；算符；积分
[中图分类号]O413.1[文献标志码]E[文章编号]2096-0603（2016）01-0078-02
在学习量子力学之前,数学物理方法知识的储备是必不可少的.数学物理方法课程中复变函数、特殊函数等知识在量子力学学习中起到了不可或缺的作用.在量子力学的学习中,会牵涉大量的较为复杂的积分运算.面对这些积分,学生知道这属于数学问题,会不假思索地利用高等数学或数学物理方法课程中的知识去处理,或直接去查积分表.本文将给大家展现一种新的求积分的方法,即利用量子力学积分法计算积分.
为简单清晰地介绍如何利用量子力学算符法计算积分,我们下面以一具体实例来说明.具体的实例为以下积分：
为Hermite多项式[1],Hermite多项式Hn（x）在量子力学和数学物理方法中有广泛的应用.Hn（x）有明确的物理意义,它是量子谐振子的本征函数.
一、计算积分I的常规方法
面对积分I,我们通常会将（2）式直接代入（1）式,即可得：
易见,该计算具有一定的复杂性.另一计算积分I的方法是逐一击破,即给定n的取值,先给出Hn（x）的具体多项式形式,然后代入（1）加以进一步的积分计算.
下面,在介绍利用量子力学算符法计算积分I之前,我们先引入算符Hermite多项式.
二、算符Hermite多项式Hn（X）
在Hermite多项式Hn（x）中,x是普通的坐标,若将其换成坐标算符X,则相应的Hermite多项式Hn（x）将可以变成算符Hermite多项式Hn（X）,即
这是一个算符恒等式.
三、利用算符Hermite多项式Hn（X）计算积分I
下面我们具体利用算符Hermite多项式Hn（X）计算积分I.首先,利用坐标表象的完备性关系[3].
四、讨论
在上面两小节中,我们利用量子力学算符法得出了式（1）中积分I的积分值,见式（16）.而事实上,我们并未做通常意义上的积分演算.这可以说是求积分的一种新途径,即用算符,如算符Hermite多项式Hn（X）.在某个表象中的表示构造出对于ket-bra算符的积分,再将之纳入有序算符内的积分,如式（13）,然后比较该算符在同一编序规则下的恒等式,如式（9）,就可以得出此积分的结果.此法无需直接演算积分本身即得所求,故值得推广.
五、小结
通过一具体积分实例,我们介绍了量子力学算符法计算积分的过程.该方法提供了求积分的一种新途径,该法无需直接演算积分本身即得所求,值得推广.此外,整个求解过程体现了量子力学独特的内在美,加深了人们对数理知识和理论物理知识内在联系的理解.
参考文献：
[1]梁昆淼.数学物理方法（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010.
[2]范洪义.量子力学中的表象和变换理论[M].上海：上海交通大学出版社,1993.
[3]曾谨言.量子力学（第三版）[M].北京：科学出版社,2000.
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