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儿童数运算核心经验学习和的特点与教师的支持性策略
数运算能力是幼儿数学认知能力的重要组成部分,也是幼儿深入理解数学知识体系以及解决日常问题情境的基础能力之一,主要反映的是幼儿在数概念学习的基础上对数和数之间组合与分解以及数量变化的理解.《3~6 岁儿童学习与发展指南》明确提出,5~6 岁幼儿应“借助实际情境和操作（如合并或拿取）理解‘加’和‘减’的实际意义”“能通过实物操作或其他方法进行10 以内加减运算”.其实,幼儿在日常生活中很早就开始接触有关数运算的问题情境,虽然他们还不会运算,不理解数字符号、运算符号,但这些真实的生活经验是他们日后学习数运算的重要基础.
一、儿童“数运算”核心经验学习与发展的特点
幼儿数运算能力的发展总的来说经历了从具体到抽象的过程,体现了其思维抽象性的不断发展.综合国内外有关研究,幼儿数运算能力发展具有以下两方面的特点.〔1〕
1.数运算能力从动作水平逐步发展到概念水平
幼儿数运算能力的发展是渐进的.幼儿早期在生活中就已能解决简单的数量问题,这可以看作是幼儿数运算能力发展的初级阶段,但这还只是建立在实物情境基础上的操作,幼儿并没有形成形象化、稳定的认知.一般来说,幼儿的数运算能力要经历从动作水平的加减到表象水平的加减再到概念水平的加减发展过程.
动作水平的加减是指幼儿以实物或图片等直观材料为工具,借助合并、分开等动作进行加减运算.这也可以说是具体水平的加减,因为幼儿需要借助具体的实物或图片,通过具体的摆弄、操作才能进行加减的运算.
表象水平的加减是指幼儿逐渐能够不借助直观的动作,在头脑中依靠对形象化物体的再现、物体的表象进行加减运算.在这一阶段,幼儿开始往往要借助图片等具体形象进行运算,然后才能逐渐脱离具体形象,以生活中熟悉的情节唤起头脑中的表象,从而理解数量关系并进行运算.运用表象进行加减是幼儿加减学习的主要手段,最典型的就是口述应用题.口述应用题以表象为依托,帮助幼儿理解题意、数量关系和运算符号,选择正确的方法进行运算.例如,告诉幼儿“盘子里有2 块饼干,老师又放进了3 块饼干,问现在盘子里有几块饼干”,幼儿就能通过回忆生活经验和在头脑中再现物体形象进行相应的运算.
要依靠抽象的符号进行加减运算则要达到概念水平.概念水平的加减也就是抽象水平的加减,是指幼儿不需要操作实物或依托表象,就能直接运用抽象的数概念进行加减运算.例如,口述或呈现加法算式“4+1等于？”,这个算式已经脱离了可以凭借的直观的实际形象,幼儿只能凭借抽象的数字来进行运算,这种直接进行口头或书面的加减算式的运算是最高水平的加减运算.
2.数运算方法从逐一加减发展到按数群加减
幼儿进行加减运算的方法是从逐一加减发展到按数群加减的,这体现了幼儿思维抽象性的逐步提高.逐一加减,就是用计数方法进行加减运算,这种方法表现在加法运算上往往是将两组物体合并在一起,再逐一计数它们一共是几个,或者以第一个加数的值为起点,再接着计数第二个加数的物体,直到数完为止.例如,面对“3 块饼干加上2块饼干”这一加法运算,有的幼儿使用的策略是先合并,再计数1、2、3、4、5,得出一共是5 块饼干；有的幼儿采用的策略是以3 为起点,接着计数4、5,得出一共有5 块饼干.逐一加减这种方法表现在减法运算上则是先将要减去的物体拿走,再逐一计数剩下的物体,或从总数中逐一倒着数,数到要减去的数量为止.例如,要解决“6 块饼干吃掉了4 块,还剩几块”的问题时,有的幼儿会直接拿开4 块饼干,再点数剩下的饼干：1、2,得出还剩2 块；有的幼儿会从6开始接着倒数：5、4、3、2,得出还剩2块饼干.显然,上述例子中幼儿都是通过计数的策略来进行运算的,其数运算还处于初级水平.
按数群加减,是指幼儿能把数作为一个整体,从抽象的数群出发进行数群间的加减运算.这是以幼儿掌握数的组成与分解为基础的,幼儿要在掌握10 以内数的组成与分解后才能逐步达到按数群加减的水平.例如,要解决“5+2 等于几”或“5-2 等于几”的问题时,幼儿如果能够回忆起5 和2 合起来是7 或5 可以分成2 和3 的经验,就有利于按数群进行加减运算.
一般来说,幼儿4 岁以前基本上不会加减运算,不会自己动手将实物分开或合并进行加减运算,但能解答一些与生活有密切联系的应用题.4岁以后,幼儿能借助动作将实物合并或拿开进行加减运算,这种运算不能脱离具体的实物,而且运算的方法是逐一计数,即通过重新点数总数或剩余数得出结果.5 岁以后,幼儿能够利用表象进行加减运算,在运算方法上出现了逐一加减.幼儿能把顺着数和倒着数的方法运用到加减运算中.幼儿在运用这种方法学习加法时,大数加小数比小数加大数更容易掌握；在学习减法时,减数小比减数大更容易掌握.5 岁半以后,随着数概念的发展,特别是在学习了数的组成与分解之后,幼儿不仅能运用数的组成与分解知识进行加减运算,运用表象解答口头应用题的能力也得到进一步提高,并摆脱逐一加减的水平,达到按数群运算的水平.幼儿运用加减运算方法上的进步,实质上也反映了幼儿在加减运算中思维抽象性的发展.
二、教师支持儿童获得“数运算”核心经验的策略
1.通过实物操作和情境创设,引导幼儿用数运算方法解决问题关于数运算的问题,许多研究者都主张采用“解决问题”的教学方式(Carpenter,Care&Kouba,1990; Nelson&Kirkpatrick,1988).所谓“ 解决问题”的教学方式,是指引用生活实例或设计仿真实世界的情境问题（如,亮亮收集了6 辆小汽车模型,他还要收集几辆小汽车模型,才能和聪聪一样总共有10 辆）,容许幼儿运用各种不同方式（如操作实物、演示、扳手指、在纸上画图作记号、讨论、运用计数技巧等）解答问题,以充分探索加减概念,在幼儿充分理解后,才引入抽象的符号“+”“-”“等于”.〔2〕幼儿早期对数运算概念的探索并不局限于加、减,有时甚至会涉及乘、除,这时重要的是让幼儿在生活中或实际情境中进行操作,解决问题.例如,在餐点时间,每个小组分到8 块点心,一个小组4 人,每人可以分到几块？这其中实际上涉及了除法问题.3~6 岁幼儿并不了解除法,但很多幼儿却能在实际情境中进行模拟分配,这就把除法与真实情境联系起来了,这样的数运算就非常有意义.
在幼儿只学会简单的计数或在幼儿还没有完全掌握计数策略,就直接引进数运算,这种做法是不符合幼儿数认知发展的特点的.在学习加减运算之前,教师必须让幼儿充分了解数字间的关系,为加减运算做好铺垫,否则幼儿靠记忆策略完成运算是没有意义的.因此,除了集体数学活动外,教师更需要在幼儿的生活和游戏中渗透数运算,让幼儿有大量操作的机会,加深理解.此外,餐点时间分点心等也是幼儿学习数的组成与分解的好时机；带有图案、点子、数字的卡片是很好的玩教具,可以反复利用,既体现了数的多元表征,又可让幼儿在游戏中体验数字关系.
2.基于多元表征的理念,以多种形式促进幼儿数运算能力的发展幼儿加减运算能力的发展有三个阶段的水平：即动作水平、表象水平、概念水平,符合幼儿从具体到抽象的认知发展规律.相应地,在有关数运算的集体教学活动中,教师通常会根据幼儿年龄的增长和数运算水平的提高,先后实施实物加减教学、口述应用题教学和列式运算教学.
这三种教学形式侧重的数学表征形式各不相同,实物加减教学侧重的是实物情境表征和教具模型表征,口述应用题教学侧重的是口语表征,列式运算教学侧重的是符号表征和图形图表表征.在数运算教学中,这三种教学形式在很多情况下往往会被割裂开来分别呈现,通常最后会以能否进行列式运算来衡量幼儿的数运算能力.幼儿数运算能力的发展是一个复杂的螺旋式上升的过程,根据多元表征的理念,数学教学不应仅仅以幼儿能够认知、操作数学符号为目的.幼儿如果缺乏实物情境表征、动作表征、口语表征等形式的表征经验,即使能进行列式运算,也可能只是机械记忆数学符号,而并不理解算式所表示的含义.因此,衡量幼儿数运算发展水平的关键在于：能够感知与发现隐含在情境中的数运算问题,能够对数运算进行多种形式的表征,以及能够灵活地进行数运算的多种表征形式之间的联系与迁移.
教师在设计活动时,可以基于多元表征的理念,以多种形式促进幼儿对数运算的理解.例如,基于实物表征、动作表征和口语表征,教师可以提供多种材料以融合实物加减教学和口述应用题教学,让幼儿初步感知具体情境中的数运算问题.随着幼儿对数运算的理解的加深,教师可以在实物加减教学和口述应用题教学的基础上引入列式运算教学,鼓励幼儿运用数学符号来表征故事情节中的数运算,培养幼儿的符号表征能力,或引导幼儿根据算式创编故事及口述应用题,以培养幼儿双向转化的表征能力.到了大班下学期,当幼儿抽象水平的数运算能力逐渐增强时,教师可引导幼儿根据算式创编口述应用题,这本质上是一个从实物情境表征向符号表征转化的反操作,是抽象到具体的转化,一方面能够培养幼儿思维的逆向性和灵活性,另一方面也能促进幼儿在同一个数运算的不同表征形式之间灵活地进行转换,从而达到使幼儿真正理解数运算的目的.例如,在表演故事《姜饼人》的过程中,起初,教师可引导幼儿发现和归纳出人数增加时数量变化的算式.在幼儿熟悉故事后,教师就可以不借助故事本身,让幼儿尝试看着算式创编故事情境,即从实物表征向符号表征转换,再由符号表征转化为故事情境,从具体到抽象,再由抽象逆向转化到具体情境,建构起不同表征形式之间的联系.多元表征是幼儿学习数运算的有效途径,也是幼儿真正理解数运算的反映.
3.借助数的组成和口述应用题的方法,促进幼儿抽象数运算能力的发展
幼儿在积累大量的实物操作和情境化练习的经验后,就会进一步理解加减的实质,以及符号和算式的意义,这会成为他们理解抽象数量关系的基础.同时,随着年龄的增长,幼儿的抽象思维能力会不断提高.因此,教幼儿学习数的组成与分解,使之成为抽象加减运算的基础,可提高幼儿运算的抽象思维水平,为日后更深层次地学习数运算打下坚实的基础.
在引导幼儿运用数的组成与分解学习加减时,首先要让幼儿熟练掌握10 以内数的组成与分解,如4 的组成与分解、5 的组成与分解,将数的组成与分解作为加减运算的工具和基础.其次要引导幼儿从学习数的组成与分解过渡到学习加减.在幼儿掌握10 以内数的组成与分解后,教师可引导幼儿用某一个数的组成与分解来尝试表征加和减,可以与幼儿讨论或作出示范,也可以列出算式引导幼儿表达.例如,列出“1+2等于3”后,引导幼儿说：“1 和2 合起来是3,所以‘1+2等于3’.”在这种抽象表征的过程中,教师要引导幼儿逐渐建立起从组成到加法和由加法到组成的运算模式,从而使数的组成真正成为数运算的基础.同时,教师可以使用多样化的方式引导幼儿探索数的分解与减法的关系.
运用数的组成与分解来理解加减,标志着幼儿加减运算能力已由具体和表象水平上升到抽象水平.〔3〕但是,这并不代表幼儿已经完全能够进行概念水平的加减.教师可以适时地引导幼儿在实物操作、口述应用题和数的组成与分解以及加减运算之间建立联系,鼓励幼儿基于操作或口述应用题的问题情境列出算式.在幼儿熟练后,教师可转换形式,出示算式引导幼儿尝试自编口述应用题,这是一种更为抽象的数概念水平.这样在口述应用题（问题情境）、数的组成、算式之间进行反复转换,会有效地增强幼儿在概念水平上对数运算的理解,进一步促进幼儿灵活运用加减法.
综合上述教师支持幼儿获得“数运算”核心经验的策略,我们可以看出,无论是在集体活动中还是在区角活动或日常活动中,教师的指导更多的是要采用“解决问题”的教学方式,遵循幼儿数运算概念的发展轨迹,符合《3~6 岁儿童学习与发展指南》的基本理念和幼儿认知发展特点.幼儿数运算能力的发展是一个复杂的过程,需要以良好的数感和丰富的数数经验为基础,过分关注纸笔操作和机械记忆,必然会使幼儿数运算学习失去意义.因此,教师应该更关注幼儿对数学问题的理解,在操作和表达中促进幼儿数认知能力的发展.
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