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高中数学课标卷函数导数部分解题策略
引言
数学作为一门科学,在许多领域发挥着重要作用,同时也在高中教育中占据核心地位.导数是微积分的核心内容之一,是高中数学的重要组成部分,是每一年的高考重点关注的对象,占据分数颇大.但是,在具体教学过程中,许多高中生因为不同因素导致学习遭遇困境,尤其是在函数导数部分学习极为坎坷,因此,本文就高中数学中的函数导数部分内容,实例分析解题技巧和策略.
一、利用导数研究函数的单调性和极值
函数的单调性即该函数在一定范围的图象曲线的走向,若函数图象曲线向上,则为单调递增,反之则为单调递减.一个函数的单调性与其导数联系紧密,定理如下：在区间（a,b）内,若f′（x）＞0,那么函数y等于f（x）在该区间内单调递增；若若f′（x）＜0,那么函数y等于f（x）在该区间内单调递减.
例1：已知三次函数f（x）等于x3+ax2+bx+c在x等于1和x等于-1时取极值,且f（-2）等于-4
（1）求函数y等于f（x）的表达式
（2）求函数y等于f（x）的单调区间和极值
解：（1）由f（x）等于x3+ax2+bx+c得f′（x）等于3x2+2ax+b
由题意得x等于1和x等于-1是f′（x）的根,得a等于0,b等于-3
由f（-2）等于-4得c等于-2
所以f（x）等于x3-3x-2
（2）f′（x）等于3x2-3等于3（x+1）（x-1）
当x＜-1时,f′（x）＞0
当x等于-1时,f′（x）等于0
当-1＜x＜1时,f′（x）＜0
当x等于1时,f′（x）等于0
当x＞1时,f′（x）＞0
所以,f（x）在区间［-∞,-1］上为增函数；在［-1,1］上是减函数；在［1,+∞］上是增函数.函数f（x）的极大值是f（-1）等于0,极小值是f（1）等于-4.
在例1中,第二个问题即求函数的单调区间以及极值,我们可以很容易从例子中看出,当函数的导数在某一区间内大于零时,函数在这个区间内单调递增；相应的,当函数的导数在某已区间内小于零时,函数在这个区间单调递减.因此,在解题过程中, 当学生遇到求函数的单调性以及极值的时候,可以利用求导的方式求出该函数的导数,通过导数判断其单调性和极值.
二、利用导数求函数的最值
函数的极小值和极大值与函数的最大值和最小值是两个不同的概念.极小或极大值都是反映函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说,极小值和极大值不能代表函数的最大值和最小值.但是在求函数的最大值和最小值的过程中,却需要借助极小值和极大值.
例2：求f（x）等于y等于x4-8x2+2在［-1,3］上的最值
解：由y等于x4-8x2+2得y′等于4x3-16x等于4x（x-2）（x+2）
令y′等于0,得x等于0,x等于2,x等于-2
代入得F（0）等于2,f（2）等于-14,f（-1）等于-5,f（3）等于11
由于x等于-2不在区间［-1,3］中,因此不予考虑.
所以f（x）在区间［-1,3］中的最小值为f（2）等于-14,最大值为f（3）等于11.
一般情况下,求某一个函数在某区间内的最值,可先求出该函数在区间内的极值,再将求出的各极值与该函数在端点处的函数值比较,最大的则为函数的最大值,最小的则为函数的最小值.
三、构造函数证明不等式
构造函数简单来说就是一种解题方法,是基于具体数学题目,构造符合题目的函数模型,并通过该函数模型解决数学题目的方法.在解题过程中通过构造函数方法可以有效得出答案,如应用于证明不等式中.
例3：已知函数f（x）等于x2/2-ax+（a-1）㏑x,a＞1.
（1）略
（2）证明；若a＜5,则对任意x1,x2∈（0,+∞）,x1≠x2,有f（x1）-f（x2）/x1-x2＞-1.
解：f＇（x）等于x﹣a+（a-1）/x等于（x2-ax+a-1）/x等于（x-1）（x+1-a）/x
g（x）等于f（x）+x等于x2/2-ax+（a-1）㏑x+x
∴g＇（x）等于x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）等于1-（-1）2
∵1＜a＜5
∴g＇（x）＞0,即g（x）在（0,+∞）单调递增
∴当x1＞x2＞0时,g（x1）-g（x2）＞0
故f（x1）-f（x2）/x1-x2＞-1
当0＜x1＜x2时,f（x1）-f（x2）/x1-x2等于f（x2）-f（x1）/x2-x1＞-1.
例3中,如果只是按照常规思路进行解题,难度较大,但是通过构造函数g（x）解题,很大程度上降低了解题难度.
四、注意事项——定义域
在利用导数研究函数的过程中, 无论是求极值还是最值,亦或是求函数的单调区间或者研究函数的单调性,一定要注意申清题目,看清楚题目中的定义域.搞混、弄错或者直接忽略定义域,都将导致学生解题错误.因此,同学们在解题之前应认真审题,严格按照题目要求进行解题,不得混淆题目意思,不得马虎了事.
结束语
导数是微积分的核心内容,是高中数学不可或缺的内容体系.导数作为一种工具,是高中铸错知识的交汇点,在解决函数等问题时发挥了非常优越的作用,是研究函数、解决函数问题的最主要、最有效的工具[2].因此,在高中数学教学中,应重视导数的教学,通过例题讲解将导数以及相关概念与具体解题过程联系起来,充分发挥导数的工具性作用,从而改善学生学习函数时遭遇的困境,提高学生学习效果.
【参考文献】
[1]付禹.高中生学习导数及其应用时的困难点研究[D].东北师范大学,2015
[2]杨晓转.普通高中“导数及其应用”教学设计研究[D].西北师范大学,2014
函数导数论文范文结:
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